Divisibilidad

Divisibilidad.

Números en columnas

¿Cuál es el resto?

a) Se escriben los números
en tres columnas:

0

1

2

Encuentra en qué columna se ubican los números:
24; 141; 814; 1721;
10001.

3

4

5

6

7

8

…

…

…

b) Se escriben los nú-

0

a) Indica una regla que te permita determinar el resto de una división entre 2, 3, 5 y 10
sin efectuar la división.b) Determina los restos de dividir los números 4871, 7221 y 10327 entre 2, 3, 5 y 10.

1

2

3

4

meros en cinco colum5 6 7 8 9
nas:
… … … … …
Encuentra en qué columna se ubican los
números: 45; 87; 110; 508; 1041.

c) El primer día del mes es lunes.
¿Cuál es el 29º día del mes?

d) El primer día del año es martes.

c) Encuentra dos números mayores que
1200 cuyo resto dela división entre 9 sea 7.
d) Si restas los números hallados anteriormente, el resultado ¿es múltiplo de 9? Verifica.

e) Encuentra dos números cuya diferencia
sea múltiplo de 5. ¿Cuál es el resto de la división de ambos números entre 5? Explica el
resultado.

¿Cuál es el 305º día del año?

Con la planilla de cálculo:
Nos proponemos descubrir algunas particularidades de los restos de ladivisión entera.
En la planilla de cálculo dispones de la función RESIDUO que te permite obtener el resto de la división
entera de un número entero n por b.

Sintaxis: RESIDUO(número;núm_divisor)
número: es el número que desea dividir y cuyo residuo o resto se desea obtener.
núm_divisor es el número por el cual se desea dividir el número.

a) Ingresa en una hoja de cálculo en la columnaA, los números de 1 a 30. Calcula en la columna B, los
restos de la división entera entre 3. ¿Qué observas?
b) Ingresa en las celdas E2 y F2 dos números naturales n y n’, luego completa las celdas como lo indica la
figura.
c) Calcula en las celdas E3 a L3 los restos de los números obtenidos en la segunda fila en la división entera
entre 3.
d) Modifica los números que ingresaste. ¿Quéobservas? ¿Puedes enunciar alguna propiedad acerca de los
restos de la división entera entre 3 de una suma, de un producto, …?

Matemática II. 2ºBD - Colección Mosaicos 2010

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Divisibilidad.

1. Múltiplos y divisores.
1. Múltiplos de un número.
Definición: Un natural m es múltiplo de un natural b si existe un natural c tal que m = b×c.

Ejemplo: los múltiplos de 3 son todos los números dela forma 3 × c, para c∈N.
Observaciones:
• Todo natural es múltiplo de 1 • Cero tiene un único múltiplo: 0

• Cero es múltiplo de todo natural b

·

Notación: Para indicar que m es múltiplo de b se escribe: m = b .

2. Divisores de un número.
Definición: Un natural b, no nulo, divide a un natural a si existe un natural c tal que a = b×c.

Notación: Para indicar que b divide a a, o esdivisor de a, se escribe: b | a.
Ejemplo: 3 divide a 54 porque 54 = 3 × 18. Antotamos: 3 | 54

3. Propiedades de los divisores.
En la tabla siguiente se enumeran algunas propiedades de los divisores de un número.
1. Todo número natural no nulo es divisor de sí
mismo. (propiedad Idéntica)

2. Si b divide a a, y si a ≠ 0 entonces b ≤ a.

3. Si a divide a b y b divide a a entonces a = b.(propiedad Antisimétrica)

4. Si a divide a b y b divide a c entonces a divide a c.
(propiedad Transitiva).

5. Si a divide a b y a c entonces a divide a:
b + c ; b – c (si b > c);
y a cualquier combinación lineal de b y c:
b×x + c×y con x y y naturales.

6. Si a divide a b, entonces a×c divide a b×c,
cualquiera que sea el natural c distinto de cero.

a) Para cada una de las 4 primeraspropiedades, ilustra con un ejemplo e intenta dar una justificación de ellas.
b) Observa la utilización de la propiedad 5. en el siguiente ejemplo:
·
Demuestra por recurrencia que 10n− 3n = 7 , para todo número natural n.
• B.I. La propiedad es cierta para n = 0.
·
·
• P.I. Si 10 n− 3n= 7 , entonces 10 n+1 − 3n+1 = 3(10 n− 3n) + 7×10 n = 7 , puesto que es una
n
combinación lineal de...