Division de matrices

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División de matrices
 
La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:
 
Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.
 
Ejemplo:
  

MATRICES INVERTIBLES

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que
 
AB = BA = I
 
siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
 
Ejemplo:
 

 

 

 
 
Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles,siendo cada una la inversa de la otra

Método de Gauss
 
Sea A = (ai j ) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
 
Paso 1. Construir la matriz n  2n M = (A I ) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
 
Paso 2. Se deja tal y como está la primerafila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
 
Ejemplo:
 
Consideremos una matriz 3  3 arbitraria
 

 
Paso 1.
 

Paso 2.
 

 
El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se coge comopivote el segundo término de la diagonal principal.
 
Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al coger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
 
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en unamatriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar, si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
 
Ejemplo:
 
Supongamos que queremos encontrar la inversa de
 

 
Primero construimos la matriz M = (A I),
 

 

 

 

 
La mitad izquierda de M está enforma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habría terminado (A no es invertible).
 
A continuación, cogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.
 

 
Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operarmás. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:
 

 
La matriz que ha quedado en la mitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:
 

 
Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
 
Comprobación:
AA-1 = I 

 
Traspuesta de una matriz
 
La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por AT.
 
Así, la traspuesta de

En otras palabras, si A = (ai j ) es una matriz m  n, entonces AT = es la matriz n  m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:
 
1. (A + B)T = AT + BT.
2. (AT)T = A.
3.(kA)T = kAT (si k es un escalar).
4. (AB)T = BTAT.
 
Matrices simétricas
 
Se dice que una matriz real es simétrica, si AT = A; y que es antisimétrica,
si AT = -A.
 
Ejemplo:
 
Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que AT = A. Siendo así, A es simétrica.
Para B los elementos simétricos...