Division De Segmento En Una Razon Dada
¿Que es la razón?
Es la manera de comparar dos cantidades a través de un cociente
Conociendo las coordenadas del punto P1 ( X1 , Y1 ) y las coordenadas del punto
P2 ( X2 , Y2 ), Hallese la coordenadas de un tercer punto P ( X , Y ) que divide el
segmento P1 , P2 de tal modo que la razón.
= P1 P
Y
P P2
P2 ( X ,Y )
2
2
r = P1P
PP2
n
r= m
nY2 - Y
m
P ( X,Y )
Y - Y1
P1
( X1,Y1)
X - X1
X2 - X
X
X´
Y´
En el caso especial donde el punto P ( X , Y ) divide el segmento P1P2 por la
mitad se tiene P1P = PP2
P1 P = m = r =1
P P2 n
P ( X , Y ) Punto Medio
Las formulas para encontrar el punto medio Pm de un segmento
X= X1+X2
2
r=1
Y= Y1+Y2
2
Ejemplos:
1
Encontrar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntosexternos
P1 ( 2 , 5 ) y P2 ( 6 , 2 )
X1
Y1
X2
Y2
X= X1+X2
2
X= 2+6
2
X= 8
2
X= 4
Y= Y1+Y2
2
Y= 5+2
2
Y= 7
2
Y= 3.5
Y
Pm ( 4 , 3.5 )
P1 ( 2 , 5 )
5
4
Pm ( 4 , 3.5 )
3
(6,2)
2
P2
1
X´
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Y´
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
2
Determinar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntos externos
P1 ( -7 , 3 ) y P2 ( 1 , -6 )
Y1X1
X2
Y2
X= X1+X2
2
X= -7+1
2
X= -6
2
Y= Y1+Y2
2
Y= 3+-6
2
Y= -3
2
X= -3
Pm ( -3 , -1.5 )
Y= -1.5
Y
5
4
P1 ( -7 , 3 )
3
2
1
X´
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
( -3 , -1.5 )
Pm
-2
-3
-4
-5
-6
Comprobación
P1 ( -7 , 3 )
Pm ( -3 , -1.5 )
Y1
X1
Y2
X2
2
d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2
P2
Y´
Pm ( -3 , 1.5 )
2
2
2
2
2
2
d= (4) + ( -4.5 )
2
2
d=(4) + ( -4.5 )
d= (4) + ( -4.5 )
2
d= ( 1 - -3) + ( -6 - -1.5)
2
Y2
X2
d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2
d= (4) + ( -4.5 )
P2 ( 1 , -6 )
Y1
X1
2
2
d= ( -3 - -7) + ( -1.5 - 3)
( 1 , -6 )
d= (16) + ( 20.25 )
d= (16) + ( 20.25 )
d= (36.25)
d= (36.25)
d= 6.02u
d= 6.02u
2
9
X
3
Determinar el punto medio Pm del segmento determinado por los puntos externos
A ( -5.4 , 6 ) y B ( -2 ,-6.2 )
Y1
X1
Y2
X2
X= X1+X2
2
X= -5.4+-2 X= -7.4
2
2
Y= Y1+Y2
2
Y= 6+-6.2
2
Y
A ( -5.4 , 6 )
X= -3.7
Pm ( -3.7 , -0.1 )
Y= -0.1
Y= -0.2
2
6
5
4
3
2
1
(-3.7 ,-0.1 )
X´
-8
-7
-6
-5
-4
Pm
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
B
( -2 , -6.2 )
Y´
Comprobación
A ( -5.4 , 6 )
Pm ( -3.7 , -0.1 )
Y1
X1
2
d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2
2
Pm ( -3.7 , -0.1)
B (-2 , -6.2 )
Y1
X1
d= ( X2 - X1) + ( Y2 - Y1)
2
2
2
d= ( -2 - -3.7) + ( -6.2 - -0.1)
2
Y2
X2
2
2
d= ( -3.7 - -5.4) + ( -0.1 - 6)
2
Y2
X2
2
d= (1.7) + ( -6.1 )
d= (1.7) + ( -6.1 )
d= (2.89) + ( 37.21 )
d= (2.89) + ( 37.21 )
d= (40.1)
d= (40.1)
d= 6.33u
d= 6.33u
.
2
9
X
4
Encontrar las coordenadas de lo puntos medios de los lados del triangulo cuyos
vértices son A ( 4,-4 )B ( 10,4 ) C(2,6)
El segmento que une un vértice de un triángulo con el punto medio del lado
opuesto se llama MEDIANA
Y
C ( 2,6 )
6
El punto de intersección de
las medianas se llama
BARICENTRO
E (6,5)
5
B ( 10 , 4 )
4
3
P
2
F
1
X´
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
( 3,1 )
0
1
2
3
D (7,0)
4
5
6
7
-1
-2
-3
A ( 4 , -4 )
-4
-5
Y´
El punto medio del lado AB es: A ( 4,-4 )
X1 Y1X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2
X= 4+10
2
Y= -4+4
2
X= 14
2
Y= 0
2
B ( 10,4 )
X2 Y2
X= 7
Y= 0
Pm D (7,0 )
El punto medio del lado BC es: B ( 10,4 ) C(2,6)
X1 Y1
X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2
X= 10+2
2
Y= 4+6
2
X= 12
2
Y= 10
2
X2 Y2
X= 6
Y= 5
Pm E (6, 5)
El punto medio del lado BC es: C(2,6) A ( 4,-4 )
X1 Y1
X= X1+X2
2
Y= Y1+Y2
2
X= 2+4
2
Y= 6+-4
2
X= 6
2
Y= 2
2
X2 Y2
X= 3
Y= 1
Pm F (3,1 )
8
910
X
Las tres medianas se interceptan en un punto llamado baricentro
Esta localizado a un tercio de la suma de las abscisas de los vértices del triangulo
y a un tercio de la suma de las ordenadas de los vértices.
Las coordenadas de baricentro son:
X= X1+X2+X3
3
Y= Y1+Y2+Y3
3
X= 4+10+2
3
Y= -4+4+6
3
X= 16
3
Y= 6
3
X= 5.33
Y= 2
Baricentro P (5.33,2 )
Ejercicios
1
Encontrar el punto medio...
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