Divisivilidad

3_DIVISIBILIDAD_1

MATEMÁTICA II-2°DC

1)

Un número se dice perfecto si es la suma de sus divisores
excepto el mismo número.
Verifica que son perfectos 6, 28, 496 y 8128

2)

Definición: DIVISOR. MÚLTIPLO
Sean a  N y b  N  ,
������ ������������ ������������������������������������������ ������������ ������   ������  ������  ������. ������ = ������

Investiga y completa lasfrases. Explica por que.
a)

Los divisores de 20 son:……………………………………………..

Notación: Para indicar que b es divisor de a, se

b)

Los múltiplos de 20 son:……………………………………………

escribe: ba.

c)

Los múltiplos de 1 son………………………………………………..

Teniendo en cuenta la definición anterior, las

d)

Los divisores de 1 son………………………………………………..
Los múltiplos de a ( si a > 1 a N)son:……………………….

siguientes expresiones son equivalentes:

e)

3)

Encuentra un número de cinco cifras que sea múltiplo de

13 y 17

4)

Escribe los números entre 5000 y 10000, que son múltiplos
de 3 de 11 y de 23 simultáneamente.

5)

Dos números se dicen amigos, si cada uno de ellos es igual
a la suma de los divisores del otro, exceptuando el mismo número.
Verifica que son amigos los números de cada unade las siguientes
parejas: 220 y 284 ; 2620 y 2924 ; 3510 y 4950 ; 6232 y 6368



b es divisor de a.



b es factor de a.



b divide a a.



a es divisible por b.



a es múltiplo de b.

Ejemplo: 3 divide a 54 porque 54 = 3 18. Anotamos:
3 54
Es equivalente a: 54 es múltiplo de 3.

6)
a) Ubica 125 entre dos múltiplos consecutivos de 20.
b) Ubica 379 entre dosmúltiplos consecutivos de 8.
c) Ubica 1535 entre dos múltiplos consecutivos de 17.

Observación: Todo número natural no nulo es divisor de
0. En efecto, para todo a N, se tiene que a 0 = 0

LA DIVISIÓN ENTERA EN N
TEOREMA: Existencia y unicidad del cociente y el resto de la división entera.
Dados números naturales a y b, b ≠ 0, existe un único par de naturales q y r que cumplen lassiguientes condiciones:

a =q.b+r (el dividendo es igual al cociente por el divisor más el resto)
ii) 0≤r ������, entonces ������ ∈ [0, ������ + 1 ������[. Tenemos dos opciones es uno de los múltiplos escritos, o está entre dos
múltiplos consecutivos, es decir que a está en un intervalo [ qb ; ( q + 1) b [ .

Y la distancia de ������ a ������������, que es igual a ������ − ������������ es inferior ala longitud ������ del intervalo, entonces:

������ = ������ × ������ + ������

������

������ ≤ ������ < ������.

La unicidad del par (������; ������) resulta del hecho de que a pertenece a un único intervalo del tipo: [������������; (������ + ������)������[.

Profs: Teresa Pérez – Laura Delgue

LICEO SOLYMAR 1-2012

1

3_DIVISIBILIDAD_1
7)
a)

MATEMÁTICA II-2°DC

Verificaque: 197.719=341x578+621
Deduce sin efectuar la división y sin utilizar la calculadora el cociente y el resto de la división de 197.719
entre: i) 341; ii) 578

������
b
q
r
Utilizando únicamente la tecla ������ de tu calculadora, completa a
������
346
21
la tabla:
346
16
804
16
2345
709
9)
En la división entera de dos números naturales el dividendo es 75 y el resto es 13. Datodos los valores
posibles para el divisor y el cociente.

8)

10)

En la división entera de 527 por un natural b, el cociente es 21. Da todos los valores posibles para el resto
y el divisor.

11)
12)

Halle n natural sabiendo que el cociente de dividirlo entre 29 es 5 y el resto de dividir n + 10 entre 29 es 3.

Determina todos los números naturales a N que al dividirlos entre 25dan resto igual al cuadrado del
cociente.

13)

Un número natural n, excede en 35 a un múltiplo de
24, ¿Cuál es el resto de dividirlo por 8?
14)
Da ejemplos numéricos de la siguiente propiedad y
luego demuéstrala:
Sean a; b; c  N , Si a|b y b|c entonces a|c

15)

Para cada uno de los siguientes enunciados, muestra
ejemplos numéricos para los cuales se cumplan,...