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La Divina Proporción
por
J. Ignacio Extremiana Aldana1 , Universidad de La Rioja

La Geometr´ tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pit´goras;
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el otro es la divisi´n de una l´
o
ınea en una proporci´n extrema y una
o
media.
Kepler

Esta charla es parte de un trabajo emprendido hace tiempo con motivo del homenaje a un querido compañero y amigo: José Javier Guadalupe(Chicho). Sin prisas
(y esperamos que con pocas pausas) estudiamos y recopilamos temas geométricos
que han tenido (y tienen) gran trascendencia en la historia de la humanidad y que,
además, pueden ser aprovechados para “acercar las matemáticas a la sociedad” que
era uno de los grandes objetivos que se planteó el Año Mundial de las Matemáticas
2000, año en el que un desgraciado accidente nos privóde Chicho para siempre.
Hemos titulado la charla “La Divina Proporción” podíamos haber elegido otro
título distinto para hablar del mismo tema; por ejemplo “el número de oro”, “el
número aúreo”, “la proporción aúrea”, “la estética de las proporciones”, “la sucesión
de Fibonacci” , etc. . . Hay mucha bibliografía al respecto. Al final daremos las
razones “teológicas” por las que hemos elegidoeste título. Antes comentaremos
algo de sus orígenes, de sus primeras propiedades y contaremos alguna historieta.
La esperanza es el unico bien com´n a todos los hombres; los que todo
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lo han perdido la poseen a´n.
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Tales de Mileto
1

Trabajo en colaboraci´n con L. Javier Hern´ndez Paricio y M. Teresa Rivas Rodr´
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ıguez

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2. La Divina Proporción

Figura 1Manzanas y naranjas

“Retorna a lo antiguo y serás moderno” (Giuseppe Verdi)
Comenzamos mostrando una imagen (Figura 1) tomada de la página web de
George W. Hart (cuya visita recomiendo encarecidamente). Esta imagen aparece
en el cartel anunciador de la presente edición del Seminario Permenente de Actualización en Matemáticas, que organiza el Departamento de Matemáticas y Computación de laUniversidad de La Rioja desde hace 24 años.
Se trata de un dodecaedro y de un icosaedro cuyos vértices son naranjas y manzanas respectivamente. Cuando los organizadores del Seminario eligieron la imagen se nos ocurrió que podíamos preparar una charla sobre la proporción que rige
la construcción de ambos poliedros: la Divina Proporción; quizá porque, como dice
Luca Pacioli en su tratado cuyo título es elmismo que el de esta charla “no hay
nada en el intelecto que previamente no se haya ofrecido de alguna manera a
los sentidos”. Nuestros sentidos se inclinan hacia lo que les resulta más agradable y atractivo, lo que les resulta bello. Ahora bien, ¿qué es la belleza? ¿por qué
unos objetos son bellos y otros no? Estas preguntas han tratado de ser respondidas muchas veces en diferentes culturas.La idea más extendida es que la belleza
podría consistir de, por ejemplo, las proporciones en las dimensiones. Esta idea se
atribuye a Pitágoras quien habría descubierto el hecho de que ciertas proporciones
aritméticas en los instrumentos musicales, como las longitudes de las cuerdas, producen armonía de tonos. En la Figura 2 mostramos una ilustración de la Theorica
Musice, de Gafurio, 1492,en la que aparecen los números marcando o dirigiendo
la escala musical. Sobre la base de estas armonías musicales los antiguos griegos

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intentaron explicar también la belleza en las proporciones del cuerpo humano, de la
arquitectura y otros objetos.

Figura 2 Escala musical
Pit´goras y los Pitag´ricos
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Llegados a Grecia, recordaremos su geometría. Herodoto (485-425 a.C.) afirmaque los orígenes de la geometría griega están en Egipto:
. . . Dijeron tambi´n que este rey (Sesostris) dividi´ la tierra entre todos
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los egipcios de modo que a cada uno le tocara un cuadr´ngulo de igual tama˜o
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y tomara de cada uno sus ingresos, estableciendo un impuesto que se exig´
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anualmente. Pero cuando el r´ invad´a una parte de alguno, ´ste ten´ que ir
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