Doble Integracion

PENDIENTE-DEFLEXIÓN POR EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
Arq. Juan F. Rodríguez
PROBLEMA: Para la viga simplemente apoyada en sus extremos que se presenta en la siguiente figura determinar: 1. 2. 3. Su desviación angular máxima. La flecha a la mitad de su longitud. La desviación tangencial máxima. Las NOTAS y sugerencias de solución aparecen en color marrón.

Se deben escribir las fraccionesen la forma siguiente y no como aparece en el dibujo. w := 90.00⋅ kg m

PASO 1. Nomenclatura y curva elástica aproximada:

Nomenclatura: En el caso de vigas, se utilizará una letra mayúscula para cada apoyo y/o extremo de la misma, sin tomar en cuenta las cargas aplicadas. Se traza la curva que represente la deformación de la viga considerando las cargas aplicadas y la gráfica de momentos.θA

θB

PASO 2. Convención de signos: Por lo menos se anotarán las que se ven para la solución de este problema. Lo que se mueve verticalmente hacia arriba, hacia la derecha y lo que gire siguiendo el sentido de reloj, se consideran positivos. Siempre encierre los signos resultantes con un círculo por ser solo el resultado según la convención y no necesariamente la respuesta física.

PASO3. Calcular las componentes de reacción: Según las ecuaciones de equilibrio estático: 1. 2. 3. 4. Utilizar la suma de fuerzas horizontales, obteniendo así, las componentes de reacción horizontal. Hacer suma de momentos en el apoyo izquierdo, para determinar la componente vertical del apoyo derecho. Luego, establecer la suma de momentos en el apoyo derecho para calcular la componente vertical delapoyo izquierdo. Hacer una suma de fuerzas verticales, para comprovar los resultados.

ΣFH = 0 = RXA

por lo tanto, la componente horizontal en la articulación A será:

RXA = 0.00⋅ kg

ΣM A = 0 =  90.00⋅ 

kg  m



 ⋅ ( 3.00⋅ m) ⋅ ( 4.50⋅ m) − RYB⋅ ( 6.00⋅ m)

de donde:

RYB := 202.50⋅ kg

ΣM B = 0 = RYA⋅ ( 6.00⋅ m) −  90.00⋅ 

kg 



m

 ⋅ ( 3.00⋅ m) ⋅ (1.50⋅ m)

entonces:

RYA := 67.50⋅ kg

ΣFV = 0

ΣFV := RYA −  90.00⋅ 

kg 



m

 ⋅ ( 3.00⋅ m) + RYB

como:

ΣFV = 0.00 kg

Hay equilibrio estático, correcto!

PASO 4. Escribir la ecuación de momentos válida para toda la viga: Para establecer las ecuaciones de momento, se hace un corte en la longitud de la viga despues de cada cambio de carga. La ecuación de momentosválida para toda la viga será la que ocurra según el último corte. Según el corte b-b' del interválo: 3.00 ≤ x ≤ 6.00 M = 67.50⋅ x − 45 ( x − 3 )
2 2

En los casos de vigas simétricas en carga y estructura, solo se deberá trabajar con la viga hasta el eje de simetría longitudinal.

PASO 5. Reemplazar "M" por:
2

EI⋅

d y dx
2

Observese que las cantidades dentro del paréntesis no sealteran, y representan una distancia que siempre será real y positiva. Recordar que "E" representa el material de la viga y es el valor del módulo elástico. "I" es el momento de inercia que considera las dimensiones de la sección transversal de la viga, su forma y la colocación de la misma.

EI⋅

d y dx
2

= 67.50⋅ x − 45 ( x − 3)

2

PASO 6. Integrar la ecuación [5], para encontrar laecuación de la desviación angular "θ" (pendiente): dy dx
2 3

EI⋅

= 33.75⋅ x − 15 ( x − 3) + C1

Se integra cada término y se suma una primera constante de integración.

PASO 7. Integrar la ecuación [6], para encontrar la ecuación de la desviación tangencial "y" (deflexión): EI⋅ y = 11.25⋅ x −
3

15 4

( x − 3 ) + C 1⋅ x + C 2

4

PASO 8. Considerando las condiciones de frontera sedeterminan las constantes de integración C1 y C2 : Si se tiene un apoyo en el punto "A", las condiciones de frontera por deformación serán: Cuando x = 0.00 m θ ≠0 y := 0 A una distancia x, sólo pueden ocurrir dos efectos por deformación. La pendiente "θ" (ángulo respecto a la horizontal), tiene o no tiene valor. Si tuviera valor, sería diferente de cero. Si no, entonces vale cero. Lo mismo pasa...