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Páginas: 18 (4444 palabras)
Publicado: 1 de marzo de 2011
Diseño de experimentos: ANOVA
Elisa Mª Molanes López
Un ejemplo introductorio
Un ingeniero de desarrollo de productos desea maximizar la resistencia a la tensión de una nueva fibra sintética que se utilizará para fabricar camisas. Por experiencia, parece que la resistencia (o fortaleza) se ve influida por el % de algodón presente en la fibra. También se sospecha que valores elevados de %de algodón repercuten negativamente en otras cualidades de calidad que se desean (por ej. que la fibra pueda recibir un tratamiento de planchado permanente). Ante esta situación, el ingeniero decide tomar cinco muestras para diferentes niveles de % de algodón y medir la fortaleza de las fibras así producidas.
2
Estos datos suman 49 y su media es 9.8
Un ejemplo introductorio
Lo queobtiene se puede resumir en la siguiente tabla:
Observaciones (fortaleza de las 25 fibras fabricadas) % de algodón 15% 20% 25% 30% 35% 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11
Media global de las 25 observaciones
Total 49 77 88 108 54 376
Promedio 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 15.04
3
Suma total de los 25 valores de fortaleza obtenidos
Un ejemplointroductorio
A la hora de fabricar las 25 fibras anteriores se debe seguir una secuencia aleatorizada. Esta aleatorización en la secuencia de fabricación es necesaria para evitar que los datos observados (la fortaleza de los tejidos), sean contaminados por el efecto de otras variables que no conocemos y por tanto no podemos controlar. Supongamos que se fabrican las 25 fibras sin un mecanismo aleatorizado,es decir, siguiento el orden original (primero se fabrican las 5 fibras con un 15 % de algodón, luego las 5 fibras con un 20% de algodón, y así sucesivamente). En esta situación, si la máquina que mide la fortaleza de la fibra presentase un efecto de calentamiento de modo que a mayor tiempo de funcionamiento diese menores lecturas de resistencia, entonces los datos se contaminarían. Por ese efectode calentamiento, la fortaleza de las fibras fabricadas con un 35% de algodón resultarían negativamente muy contaminadas. No pasaría lo mismo con las fabricadas con un 15% de algodón.
4
Si aleatorizamos la fabricación de las 25 fibras, se espera que este efecto esté presente por igual en todos los % de algodón, de modo que las comparaciones entre los distintos niveles siguen siendo válidos. Un ejemplo introductorio
El análisis de la varianza nos ayudará a responder las siguientes cuestiones:
¿Influye el % de algodón en la fortaleza de la fibra fabricada?
Si es así, ¿qué niveles de % de algodón son similares y cuáles no?
5
Analysis Of Variance (ANOVA)
En general, tendremos:
Observaciones (variable dependiente de interés, y) Factor Nivel o grupo 1 Nivel 2 y11 y21y12 y22 … … … … y1n1 y2n2 Total Promedio
y1•
y1• ¯
y2• ¯
y2•
Nivel Iésimo
yI1
yI2
…
…
yInI
yI• y••
6
yI• ¯ y•• ¯
Notación
yij se refiere a la observación j-ésima de la variable y (fortaleza) en el grupo i-ésimo del factor (% de algodón).
yi• = yi• = ¯
Pni
yi• ni
j=1 yij
El punto significa que sumamos sobre el índice que sustituye. Es la suma delas ni observaciones del grupo i
Es la media de la ni observaciones del grupo i
y•• = y•• = ¯
7
n1 + n2 + . . . + nI = n
PI
i=1
y•• n1 +n2 +...+nI
Pni
j=1
yij
El modelo teórico
Las observaciones se describen según el siguiente modelo lineal:
yij = µ + τi + uij
Es la media global de y Es el error aleatorio. Lo que se desvía la observación yij de su media degrupo. Es la pertubación debida al error experimental
Lo que se desvía la media de y en el grupo i-ésimo con respecto a la media global de y
8
µi = µ + τi Media de y en el grupo i-ésimo
Hipótesis del modelo
Los errores del modelo son variables aleatorias con distribución normal, de media cero y varianza σ 2 Esta varianza se supone constante para todos los niveles (o grupos) del...
Elisa Mª Molanes López
Un ejemplo introductorio
Un ingeniero de desarrollo de productos desea maximizar la resistencia a la tensión de una nueva fibra sintética que se utilizará para fabricar camisas. Por experiencia, parece que la resistencia (o fortaleza) se ve influida por el % de algodón presente en la fibra. También se sospecha que valores elevados de %de algodón repercuten negativamente en otras cualidades de calidad que se desean (por ej. que la fibra pueda recibir un tratamiento de planchado permanente). Ante esta situación, el ingeniero decide tomar cinco muestras para diferentes niveles de % de algodón y medir la fortaleza de las fibras así producidas.
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Estos datos suman 49 y su media es 9.8
Un ejemplo introductorio
Lo queobtiene se puede resumir en la siguiente tabla:
Observaciones (fortaleza de las 25 fibras fabricadas) % de algodón 15% 20% 25% 30% 35% 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11
Media global de las 25 observaciones
Total 49 77 88 108 54 376
Promedio 9.8 15.4 17.6 21.6 10.8 15.04
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Suma total de los 25 valores de fortaleza obtenidos
Un ejemplointroductorio
A la hora de fabricar las 25 fibras anteriores se debe seguir una secuencia aleatorizada. Esta aleatorización en la secuencia de fabricación es necesaria para evitar que los datos observados (la fortaleza de los tejidos), sean contaminados por el efecto de otras variables que no conocemos y por tanto no podemos controlar. Supongamos que se fabrican las 25 fibras sin un mecanismo aleatorizado,es decir, siguiento el orden original (primero se fabrican las 5 fibras con un 15 % de algodón, luego las 5 fibras con un 20% de algodón, y así sucesivamente). En esta situación, si la máquina que mide la fortaleza de la fibra presentase un efecto de calentamiento de modo que a mayor tiempo de funcionamiento diese menores lecturas de resistencia, entonces los datos se contaminarían. Por ese efectode calentamiento, la fortaleza de las fibras fabricadas con un 35% de algodón resultarían negativamente muy contaminadas. No pasaría lo mismo con las fabricadas con un 15% de algodón.
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Si aleatorizamos la fabricación de las 25 fibras, se espera que este efecto esté presente por igual en todos los % de algodón, de modo que las comparaciones entre los distintos niveles siguen siendo válidos. Un ejemplo introductorio
El análisis de la varianza nos ayudará a responder las siguientes cuestiones:
¿Influye el % de algodón en la fortaleza de la fibra fabricada?
Si es así, ¿qué niveles de % de algodón son similares y cuáles no?
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Analysis Of Variance (ANOVA)
En general, tendremos:
Observaciones (variable dependiente de interés, y) Factor Nivel o grupo 1 Nivel 2 y11 y21y12 y22 … … … … y1n1 y2n2 Total Promedio
y1•
y1• ¯
y2• ¯
y2•
Nivel Iésimo
yI1
yI2
…
…
yInI
yI• y••
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yI• ¯ y•• ¯
Notación
yij se refiere a la observación j-ésima de la variable y (fortaleza) en el grupo i-ésimo del factor (% de algodón).
yi• = yi• = ¯
Pni
yi• ni
j=1 yij
El punto significa que sumamos sobre el índice que sustituye. Es la suma delas ni observaciones del grupo i
Es la media de la ni observaciones del grupo i
y•• = y•• = ¯
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n1 + n2 + . . . + nI = n
PI
i=1
y•• n1 +n2 +...+nI
Pni
j=1
yij
El modelo teórico
Las observaciones se describen según el siguiente modelo lineal:
yij = µ + τi + uij
Es la media global de y Es el error aleatorio. Lo que se desvía la observación yij de su media degrupo. Es la pertubación debida al error experimental
Lo que se desvía la media de y en el grupo i-ésimo con respecto a la media global de y
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µi = µ + τi Media de y en el grupo i-ésimo
Hipótesis del modelo
Los errores del modelo son variables aleatorias con distribución normal, de media cero y varianza σ 2 Esta varianza se supone constante para todos los niveles (o grupos) del...
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