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Base. Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.
Propiedades de las bases.
1. Una basede S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
3. Una base de S permite expresar todos losvectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.
Ejemplos de bases.
1. La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜ n:
e1 = (1,0,. . . ,0)
e2 = (0,1,.. . ,0)
en = (0,0,. . . ,1)
- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo.
- Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,. . . ,an)∈ ℜ n se puede expresarcomo combinación lineal de ellos:
(a1,a2,. . . ,an)= a1(1,0,. . . ,0)+ a2(0,1,. . . ,0)+ . . . + an(0,0,. . . ,1)
Dimensión
Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número devectores.
Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras,es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio.
Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.
Propiedades de la dimensión.
1. Significado físicode la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2, las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.
2. La dimensión de un subespacioen ℜn, coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros= plano...)
3. Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S ≤ dim T.Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos espacios han de coincidir.
4. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del subespacio que generan. Es decir: si...