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INSTITUTO TECNOLOGICO DE SANTO DOMINGO

Área de Ciencias Básicas y Ambientales

Proyecto de de
ecuaciones
diferenciales
Aplicaciones en ingeniería

Asignatura:
Ecuaciones Diferenciales
Profesor:
Rafael González

Realizado por:

Jairon Francisco
07.0034
Estudiante de Ingeniería Mecánica

Proyecto de Ecuaciones Diferenciales
Aplicación a problemas de ingeniería
Por: JaironFrancisco
2007-0034
Estudiante de Ingeniería Mecánica
Instituto Tecnológico de Santo Domingo
I.

Mecánica de Fluidos

Suponga que el agua sale de un depósito por un orificio circular de área Ak en su fondo. Cuando
el agua sale por el orificio, la fricción y la contracción de la corriente cerca del orificio reducen el
volumen de agua que sale del depósito por segundo a cAk 2 gh , donde c(0 c  1) es una
constante empírica. Determine la ecuación diferencial para la altura h del agua en el instante t
para el depósito que se muestra a continuación. El radio del orificio es de 2 pulg y g  32

Solución:
El volumen del agua en el tanque en el instante t
es

V  Awh

Con esa ecuación podemos plantear una
diferencial entre la altura y el tiempo en el que
disminuye el volumen deagua en el recipiente:





cA
dh 1 dV
1


cA0 2 gh   0 2 gh
dt Aw dt Aw
Aw
Hemos conseguido una ecuación diferencial en
base a los parámetros definidos planteada generalmente. Sin embargo, hay, a modo de
condiciones iniciales unos valores que se pueden determinar para solucionar particularmente esta
ecuación


 2
Usando: A0   
,
 
36
 12 
2

Aw  102 100,
g  32

sustituyendo estos valores para las condiciones

establecidas:

dh
c / 36
c

64h  
h
dt
100
450
Comportamiento de la ED para C=1

II. Circuitos
Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor que se
muestra en la figura de al lado. Determine una ecuación diferencial
para la carga q(t) en el capacitor, si la resistencia es R, la
capacitancia C y elvoltaje impreso es E(t).
Solución:
Sabemos que la capacitancia sobre un circuito en serie se calcula
como el inverso de la suma de los inversos. Y la resistencia como una simple suma algebraica. Así
el resultado en voltaje de este circuito esta determinado por la Segunda Ley de Kirchoffs

R

dq 1
 q  E (t )
dt C

III.
Gravitación Universal
Según la ley de la gravitación universalde Newton la aceleración a de caída libre de un cuerpo,
como el satélite que aparece en la figura de abajo, que cae desde una gran distancia hasta la
superficie terrestre no es la constante g. Además, la aceleración a es inversamente proporcional la

ak

2

r , donde k es la constante de
cuadrado de la distancia desde el centro de la Tierra,
proporcionalidad. Utilice el hecho de que enal superficie de la Tierra r=R y a=g, para determinar
k. Si la dirección positiva es hacia arriba, utilice la segunda ley para deducir la ecuación
diferencial para la distancia r.
Satélite de masa m

Solución:
Lo primero a conocer aquí, es a que es igual la
fuerza gravitacional en m:

r

F  kM r m / r 2

superficie

Sin embargo M de la tierra podemos escribirla como:

R

M t r 3 M / R3
Tierra de masa M

Sustituyendo y reduciendo en la ecuación de la
fuerza gravitacional:

F  k

Mrm
r 3 Mm / R3
mM
 k
 k 3 r
2
2
r
r
R

La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con
masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente
proporcional alcuadrado de la distancia que las separa:
Según la segunda ley de Newton tenemos que, la fuerza es el producto de la masa y la
aceleración, donde esta ultima también puede expresarse como la derivada de la velocidad con
respecto al tiempo, o la segunda derivada de la posición respecto del tiempo:

F  ma
d 2r
F m 2
dt
2
d r
mM
m 2   k 3 r Eliminando la masa de ambos lados de la...