docente

Solucionario

9

Estudio de funciones
ACTIVIDADES INICIALES

9.I.

Resuelve las siguientes inecuaciones.
a) 2x2 ؉ 10x ؉ 12 Ͻ 0

c) x ؊ x3 ജ 0

x2 ؊ 7x ؉ 12
d) —— Ͼ 0
x2 ؊ 9

a) (Ϫ3, Ϫ2)
9.II.

x؊4
b) —— ഛ 0
x؉1
b) (Ϫ1, 4]

c) (Ϫϱ, Ϫ1] ʜ [0, 1]

d) (Ϫϱ, Ϫ3) ʜ (4, ϩϱ)

Halla el valor en radianes de los siguientes ángulos. 30؇, 45؇, 60؇, 90؇, 120؇, 180؇, 225؇ y 330؇
␲␲
␲
␲
2␲
5␲
11␲
30Њ ϭ ᎏᎏ; 45Њ ϭ ᎏᎏ; 60Њ ϭ ᎏᎏ; 90Њ ϭ ᎏᎏ; 120Њ ϭ ᎏᎏ; 180Њ ϭ ␲; 225Њ ϭ ᎏᎏ; 330Њ ϭ ᎏᎏ
6
4
3
2
3
4
6

␲ ␲ ␲ ␲
3␲ 4␲
3␲
9.III. Calcula el valor en grados de estos ángulos: ——, ——, ——, ——, ␲, ——, —— y ——.
2 3 4 6
4
3
2
␲
␲
␲
␲
3␲
4␲
3␲
ᎏᎏ ϭ 90Њ, ᎏᎏ ϭ 60Њ, ᎏᎏ ϭ 45Њ, ᎏᎏ ϭ 30Њ, ␲ ϭ 180Њ, ᎏᎏ ϭ 135Њ, ᎏᎏ ϭ 240Њ y ᎏᎏ ϭ 270Њ
2
3
4
6
4
3
2
9.IV. a) Calculalas razones trigonométricas de los ángulos ␣ y ␤ de la figura.
b) Con ayuda de la calculadora, halla el valor de ␣ y ␤.

3

β

3
a) La hipotenusa del triángulo vale 5 unidades por Pitágoras. Por tanto, sen ␣ ϭ ᎏᎏ;
5
4
4
3
3
4
sen ␤ ϭ ᎏᎏ; cos ␣ ϭ ᎏᎏ; cos ␤ ϭ ᎏᎏ; tg ␣ ϭ ᎏᎏ; tg ␤ ϭ ᎏᎏ
5
5
5
4
3

α
4

b) ␤ ϭ 53,13Њ y ␣ ϭ 36,87Њ

EJERCICIOS PROPUESTOS
9.1. Encuentra los puntosde corte con los ejes de las siguientes funciones y estudia su signo.
(x ؊ 3)(x ؉ 2)
c) f(x) ‫—— ؍‬
x ؉ 1

b) f (x) ‫ ؍‬x2 ؉ 3x ؊ 4

a) f(x) ‫6 ؍‬x ؊ 5

΂ ΃

5
a) Corte con el eje X: ᎏᎏ, 0 . Corte con el eje Y: (0, Ϫ5)
6
5
5
Signo: positivo si 6x Ϫ 5 Ͼ 0, es decir, x Ͼ ᎏᎏ. Negativo si x Ͻ ᎏᎏ.
6
6
b) Corte con el eje X: (1, 0) y (Ϫ4, 0). Corte con el eje Y: (0, Ϫ4)
Signo:positivo si x2 ϩ 3x Ϫ 4 Ͼ 0, es decir, en (Ϫϱ, Ϫ4) ʜ (1, ϩϱ). Negativo en (Ϫ4, 1).
c) Corte con el eje X: (3, 0) y (Ϫ2, 0). Corte con el eje Y: (0, Ϫ6)
(x Ϫ 3)(x ϩ 2)
Signo: positivo si ᎏᎏ Ͼ 0, es decir, en (Ϫ2, Ϫ1) ʜ (3, ϩϱ). Negativo en (Ϫ∞, Ϫ2) ʜ (Ϫ1, 3).
x ϩ 1
9.2. Representa mediante una tabla de valores la función y ‫؍‬
x

2

1

0

Ϫ1

Ϫ2

ෆ
͙4 ؊ x2

0

ෆ
͙3

2

ෆ
͙3ෆෆ
͙4 ؊ x2.

Y

0

1
O

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Solucionario

1

X

9.3. Estudia si las siguientes funciones son pares o impares, o si no presentan ninguna de estas simetrías.
x2
a) f (x) ‫—— ؍‬
2
x ؊ 4

1
b) f (x) ‫—— ؍‬
x3 ؉ 1

c) f(x) ‫ ؍‬x5 ؊ x3 ؉ x

x2
a) f(Ϫx) ϭ ᎏᎏ ϭ f (x), luego es par.
2
x Ϫ 4
1
b) f (Ϫx) ϭ ᎏᎏ
Ϫx3 ϩ 1

f (x), Ϫf (x), luego no presenta estas simetrías.c) f (Ϫx) ϭ Ϫx5 Ϫ x3 Ϫ x ϭ Ϫf (x), luego es impar.
9.4. Dada la parábola f (x) ‫ ؍‬x2 ؊ 6x:
a) Halla sus puntos de corte con los ejes.
b) Calcula su vértice.
c) Represéntala gráficamente y comprueba que es cóncava hacia arriba.
a) Corte con el eje X: (0, 0) y (6, 0). Corte con el eje Y: (0, 0)
b) V(3, Ϫ9)
c)

Y

1
O 1

X

9.5. Dada la parábola f (x) ‫؊ ؍‬x2 ؉ 10x:
a) ¿En quépuntos su ordenada vale 9?
b) ¿En algún punto toma el valor 30?
c) Represéntala gráficamente y confirma los resultados anteriores.
a) Ϫx2 ϩ 10x ϭ 9 si x ϭ 1 o x ϭ 9
b) Ϫx2 ϩ 10x ϭ 30 no tiene solución.
c)

Y
5
O 2

X

9.6. Estudia si son pares o impares las siguientes funciones polinómicas.
a) f (x) ‫ ؍‬x2 ؊ 3x ؉ 1

c) f (x) ‫3 ؍‬x7 ؉ 5x3 ؊ x

b) f(x) ‫2؊ ؍‬x4 ؉ x2 ؉ 6

d) f (x)‫ ؍‬x8 ؉ x5 ؊ 8x2 ؉ 12

a) f (Ϫx) ϭ x2 ϩ 3x ϩ 1

f(x), Ϫf (x), luego no presenta estas simetrías.

b) f (Ϫx) ϭ Ϫ2x4 ϩ x2 ϩ 6 ϭ f (x), luego es par.
c) f (Ϫx) ϭ Ϫ3x7 Ϫ 5x3 ϩ x ϭ Ϫf (x), luego es impar.
d) f (Ϫx) ϭ x8 Ϫ x5 Ϫ8x2 ϩ 12

f (x), Ϫf (x), luego no presenta estas simetrías.

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63

Solucionario
9.7. Esboza las gráficas de las siguientes funciones polinómicas.a) f(x) ‫( ؍‬x ؊ 1)(x ؉ 1)(x ؊ 2)

c) f (x) ‫2؊ ؍‬x(x2 ؊ 3x ؉ 2)

b) f(x) ‫( ؍‬x2 ؊ 4)(x ؉ 1)

d) f (x) ‫(4؊ ؍‬x ؊ 1)2(x ؊ 3)2

a) Corte con Y: (0, 2). Cortes con X: (1, 0), (Ϫ1, 0), (2, 0). lim f(x) ϭ ϩϱ, lim f (x) ϭ Ϫϱ
x→ϩϱ

x→Ϫϱ

Si Ϫ1 Ͻ x Ͻ 1, f (x) Ͼ 0, y si 1 Ͻ x Ͻ 2, f(x) Ͻ 0
b) Corte con Y: (0, Ϫ4). Cortes con X: (Ϫ2, 0), (2, 0), (Ϫ1, 0). lim f(x) ϭ ϩϱ, lim f (x) ϭ Ϫϱ
x→ϩϱ...