Docente

¿Cuánto cuesta el hospedaje?
Conoce la función lineal

En el libro de Malba Tahan, El hombre que calculaba, se narra el siguiente episodio:
Llegamos a la posada. El dueño se llamaba Salim y había sido empleado de mi padre. Al verme, gritó sonriente:
—¡Alá sea contigo, mi señor! Aguardo tus órdenes ahora y siempre.
Díjele entonces que necesitaba una habitación para mí y para mi amigoBeremís Samir, el calculista, secretario del visir Maluf.
—¿Ese hombre es un calculista? —exclamó el viejo Salim—. Si es así, llegó en un momento oportuno para sacarme de un apuro. Acabo de tener una seria divergencia con un joyero. Discutimos largo rato, y de nuestra discusión ha resultado, al final, un problema que no sabemos resolver.
Al escuchar que un calculista había llegado a la posada,varias personas se aproximaron, curiosas. El vendedor de joyas fue llamado, y declaró estar interesadísimo en la resolución de ese problema.
—¿Cuál es el origen de la deuda? —preguntó Beremís.
El viejo Salim contestó:
—Ese hombre (y señaló al joyero) vino desde Siria a vender joyas en Bagdad, prometiéndome pagar por el hospedaje veinte dracmas si vendía las joyas por cien dracmas, y pagarme treintay cinco si las vendía por doscientos. Al cabo de varios días de ir y venir de aquí para allá, vendió todo en ciento cuarenta dracmas. ¿Cuánto debe pagar, en consecuencia, ateniéndose a lo convenido, por concepto de hospedaje?
El mercader de joyas se adelantó y planteó la siguiente proporción:

Expliquemos la proporción propuesta por el mercader.
Sabes que el comerciante, si vendiera las joyasen 200 dracmas, pagaría 35 dracmas por su hospedaje. ¿Qué sucedería si vendiera las joyas a la mitad del precio, es decir, en 100 dracmas?
Tendría que pagar al dueño de la posada la mitad, es decir,
dracmas.
¿Y si vendiera las joyas al doble de precio, es decir, en 400 dracmas?
Pagaría al posadero el doble: 70 dracmas. Anota estos resultados en una tabla:
Precio de venta de las joyas |Costo del hospedaje |
100 dracmas200 dracmas400 dracmas | 17,5 dracmas35 dracmas70 dracmas |

Visualicemos la situación:
Precio de venta
de las joyas
Costo del hospedaje
según el mercader
y
x
35
17,5
70
0
100
200
400
°

Este gráfico parece ser de una función. Verifiquemos:
Recuerda que la primera condición de función es que cada elemento del dominio tenga una imagen en elrecorrido.
¿Cuál es el dominio?
Se puede representar por el intervalo
(donde P es el precio de venta de las joyas por parte del mercader). Observa que el valor 0 no forma parte del dominio, porque significaría que el joyero ha vendido las joyas y no ha recibido valor alguno; lo que implicaría que el dueño de la posada no le ha cobrado nada del hospedaje, lo cual no tendría sentido.
Como seobserva, cualquiera que sea la cantidad de dracmas que se consigue por las joyas, se tiene que pagar alguna cantidad de dracmas por el hospedaje.
Ahora verifica que se cumple la segunda condición: todo x en el dominio debe tener una única imagen en el recorrido.
¿Cuál es el recorrido de esta relación?
El intervalo de 0 a 70 dracmas. Es decir,
(donde V es el valor de la posada que debe pagar elmercader).
Cada elemento del dominio tiene una imagen única, porque por cada valor de venta de las joyas se pagará una única cantidad determinada por el hospedaje.
Así estamos seguros de que tenemos una función.
Encontremos su fórmula (modelo matemático). Se sabe que si las joyas se venden en 200 dracmas, el hospedaje costará 35, y eso significa que el hospedaje constituye las
partes de laventa, porque:
.
En el caso de que las joyas se vendieran en 100 dracmas, el hospedaje costaría 17,5 dracmas.
Al calcular la relación entre el valor del hospedaje y el precio de venta se tiene:

¡Hemos encontrado la proporción entre los dos valores! (Ahora, haz el cálculo para el caso en el que la venta ascendiera a 400 dracmas). Ya lo sabes: la ecuación de la función del mercader es la...