Docimas de Hipotesis

1
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA (10009)
DÓCIMAS DE HIPÓTESIS
I. DÓCIMA PARA LA MEDIA (σ2 conocido)

X v.a. ∼ N(µ , σ2); σ2 conocido
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

Hipótesis
Alternativa
1) H1: µ ≠ µ0

2) H0: µ < µ0

2) H1: µ > µ0

3) H0: µ > µ0

Situación

Hipótesis
Nula
1) H0: µ = µ0

3) H1: µ < µ0

Estadístico

Z=

x -µ
∼ N(0 , 1)
σ/ n

Región de Rechazo
1) {Z ≤-z1-α/2 ∨ Z ≥ z1-α/2 }
2) {Z ≥ z1-α }
3) {Z ≤ -z1-α }

Ejemplo: Cierto tipo de condensador electrónico ha sido fabricado por una Empresa durante varios años y se ha observado que la
duración de éstos condensadores es una variable aleatoria Normal con desviación estándar de 90 horas. Una muestra aleatoria
de 20 de estos condensadores tuvo una duración media de 1450 horas.
Pruebe lahipótesis de que la duración media de estos condensadores es de 1500 horas. α = 0.05
Determine el p-valor.
II. DÓCIMA PARA LA VARIANZA

Situación
X v.a. ∼ N(µ , σ2);
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

Hipótesis
Nula
2
2
1) H0: σ = σ 0

Hipótesis
Alternativa
2
2
1) H1: σ ≠ σ 0

2

2

2) H1: σ > σ 0

3) H0: σ > σ 0

2

2

3) H1: σ < σ 0

2) H0: σ < σ 0

2

2

2

2Estadístico

χ2 =

2

(n − 1)S
∼ χ2(n-1)
2
σ

Región de Rechazo
1) { χ

2

2
2
≤ χα/2 ∨ χ 2 ≥ χ1−α/2 }

2) { χ

2

2
≥ χ1−α }

3) { χ

2

2
≤ χα }

Ejemplo: En una embotelladora de refresco el proceso de llenado realizado por una máquina está fuera de control cuando la
desviación estándar de la cantidad de refresco vertida supera 0,02 u.m. Para controlar lavariabilidad se tomó una muestra
aleatoria de 28 botellas llenadas por la máquina y se obtuvo una desviación estándar s = 0,027 u.m. ¿Qué se puede concluir con α
= 0,10? ¿el p-valor es mayor o menor que 0,10?

2

III. DÓCIMA PARA LA MEDIA (σ2 desconocido)

X v.a. ∼ N(µ , σ2); σ2 desconocido
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

Hipótesis
Alternativa
1) H1: µ ≠ µ0

2) H0: µ < µ0

2) H1: µ >µ0

3) H0: µ > µ0

Situación

Hipótesis
Nula
1) H0: µ = µ0

3) H1: µ < µ0

Estadístico
T=

x -µ
∼ t(n - 1)
S/ n

Región de Rechazo
1) {T ≤ -t1-α/2 ∨ T ≥ t1-α/2 }
2) {T ≥ t1-α }
3) {T ≤ -t1-α }

a. Ejemplo: El tiempo de acceso al disco duro en un cierto modelo de computador es una variable aleatoria con media 15
milisegundos. Se ha propuesto una modificación técnica conobjeto de disminuir este tiempo de acceso. Se prueba el nuevo
sistema en 10 computadores obteniéndose un promedio de 14 ms. y desviación estándar de 2,286 ms.
¿Hay suficiente evidencia estadística, al nivel de significación 0,05, a favor de la hipótesis de que el nuevo modelo
disminuye el tiempo de acceso?.
El p-valor de la dócima, ¿es mayor o menor que 0,01?. Justifique su respuesta.
b. Ejemplo:Un ingeniero que trabaja para una fábrica de llantas, investiga un nuevo compuesto de caucho. Para ello fabrica 10
llantas y las prueba en la carretera hasta que finalice su vida útil. Los datos obtenidos, en kilómetros, fueron los siguientes:
60613 59836 59554 60252 60221 60351 59784 60257 60545 60257
Si la decisión de la industria es fabricar las nuevas llantas siempre que la vida útilpromedio de éstas supere los 60 mil kms.
¿en base a la información muestral y con un nivel de significación del 5%, que decisión toma el fabricante?.
IV. DÓCIMA PARA UNA PROPORCIÓN

Situación
X v.a. ∼ B(1, p);
(x1, x2 , ..., xn) m.a.(n) de X

Hipótesis
Nula
1) H0: p = p0

Hipótesis
Alternativa
1) H1: p ≠ p0

2) H0: p < p0

2) H1: p > p0

3) H0: p > p0

3) H1: p < p0

Estadísticoˆ
p-p
∼ N(0 , 1)
Z=
pq
n
n grande

Región de Rechazo
1) {Z ≤ -z1-α/2 ∨ Z ≥ z1-α/2 }
2) {Z ≥ z1-α }
3) {Z ≤ -z1-α }

3

Ejemplo: Una empresa se plantea la posibilidad de establecer un servicio complementario de información a sus clientes. Éste será
rentable únicamente si más del 40% de los clientes están interesados. Para poder tomar una decisión se realizó un sondeo con una...