doct.

El Hombre que Calculaba

Malba Tahan

PARADOJAS MATEMÁTICAS
Se llaman paradojas matemáticas ciertos resultados notoriamente falsos que parecen
deducirse de demostraciones rigurosas, perodurante las cuales se ha efectuado una
operación que no tiene sentido, o un razonamiento erróneo, o, aún, una construcción
geométrica cuyo trazado no es correcto.
Primera Paradoja: 1 = 2.
Sean dosnúmeros iguales, a y b; escribimos: b = a.
Multiplicando los dos miembros de esta igualdad por el mismo número a, tenemos:
b x a = a2
restando a ambos miembros el mismo número b2, resulta,
b x a – b2 =a2 – b2
que puede escribirse así:
b x (a – b) = (a + b) x (a – b)
Dividiendo los dos miembros por (a – b), tenemos,
b = b + b, o sea, b = 2 b, de donde, 1 = 2.
Este resultado paradojal se explicafácilmente. En efecto, pueden dividirse los dos miembros
de una igualdad por un mismo número con la condición que ese divisor sea diferente de
cero. Pero en el ejemplo tratado hemos dividido losdos miembros de una igualdad por (a –
b) que, por hipótesis, es una cantidad nula, operación ilícita que nos condujo al resultado
absurdo: 1 = 2.
Segunda Paradoja
En todo triángulo rectángulo, cadalado es igual (?) a la suma de los otros dos.
Sea el triángulo ABC (figura a) y M, N, P, los puntos medios de sus lados; tracemos las
rectas MP y NP.

Colaboración de Guillermo Mejía

1Preparado por Patricio Barros
Antonio Bravo

El Hombre que Calculaba

Malba Tahan

Por haberse formado un paralelogramo MPNC, resulta:
AN + NP + PM + MB = AC + CB
Efectuando una construcciónanáloga para los triángulos ANP, PMB, y continuando de ese
modo indefinidamente, vemos que las líneas quebradas sucesivamente formadas tienen
siempre su longitud igual a (AC + CB). Como la longitud delos segmentos que forman la
línea quebrada disminuye constantemente, y sus vértices se aproximan cada vez más a la
recta AB, decimos que en el límite, el perímetro de las líneas quebradas llega a...