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Publicado: 16 de octubre de 2013
Área
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Este artículo trata sobre el concepto geométrico. Para otros usos de este término, véase Área (desambiguación).
El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono,puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona eltamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.1
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas delos triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo deEudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,2 así como el cálculo aproximado del número π.
Área de figuras planas
Artículo principal: Figura geométrica.
Área de un triángulo
Áreas en un plano cuadriculado.
El área de un triángulo es igual al semiproductoentre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
A=\frac{b\cdot h}{2}
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
A=\frac{a\cdot b}{2}
donde ay b son los catetos.
Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.
A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:A=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
donde a es un lado del triángulo.
Área de un cuadrilátero
Trapezoide.
El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.
\acute{A}= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}
El área también se puede obtener mediante triangulación:
\acute{A}=\frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}
Siendo:
\alpha\, el ángulo comprendido entre los lados a\, y d\,.
\gamma\, el ángulo comprendido entre los lados b\, y c\,.
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3
\acute{A} = {a \cdot b \,}...
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Este artículo trata sobre el concepto geométrico. Para otros usos de este término, véase Área (desambiguación).
El área es una medida de extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono,puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).
Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial.
Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie en cuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.Historia
La idea de que el área es la medida que proporciona eltamaño de la región encerrada en una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el Antiguo Egipto, tras la crecida anual de río Nilo inundando los campos, surge necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer sus límites; para solventar eso, los egipcios inventaron la geometría, según Heródoto.1
El modo de calcular el área de un polígono como la suma de las áreas delos triángulos, es un método que fue propuesto por primera vez por el sabio griego Antifón hacia el año 430 a. C. Hallar el área de una figura curva entraña más dificultad. El método de agotamiento consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada. Con el sistema que se conoce como método exhaustivo deEudoxo, consiguió obtener una aproximación para calcular el área de un círculo. Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,2 así como el cálculo aproximado del número π.
Área de figuras planas
Artículo principal: Figura geométrica.
Área de un triángulo
Áreas en un plano cuadriculado.
El área de un triángulo es igual al semiproductoentre la longitud de una base y la altura relativa a esta:3
A=\frac{b\cdot h}{2}
donde b es la base del triángulo y h es la altura correspondiente a la base. (se puede considerar cualquier lado como base)
Si el triángulo es rectángulo, la altura coincide con uno de los catetos, con lo cual el área es igual al semiproducto de los catetos:
A=\frac{a\cdot b}{2}
donde ay b son los catetos.
Si se conoce la longitud de sus lados, se puede aplicar la fórmula de Herón.
A= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
donde a, b, c son los valores de las longitudes de sus lados, s = ½ (a + b + c) es el semiperimetro del triángulo.
Si el triángulo es equilátero, el área es igual a un cuarto del cuadrado de un lado por la raíz cuadrada de 3:A=\frac{\sqrt{3}\cdot a^2}{4}
donde a es un lado del triángulo.
Área de un cuadrilátero
Trapezoide.
El área del trapezoide o de cualquier cuadrilátero es igual al semiproducto de sus diagonales por el seno del ángulo que forman.
\acute{A}= \frac {\overline{AC} \cdot \overline{BD} \cdot \sin \theta}{2}
El área también se puede obtener mediante triangulación:
\acute{A}=\frac {a \cdot d \cdot \sin \alpha + b \cdot c \cdot \sin \gamma}{2}
Siendo:
\alpha\, el ángulo comprendido entre los lados a\, y d\,.
\gamma\, el ángulo comprendido entre los lados b\, y c\,.
El rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos de 90º, y el área es igual al producto de dos de sus lados contiguos a y b:3
\acute{A} = {a \cdot b \,}...
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