Doctor

ED: Applications
Ecuaciones Diferenciales : Aplicaciones
Dr. Juan Francisco Tlapanco Lim´n



Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

“La naturaleza est´ escrita en ese libro enorme que tenemos
a
continuamente abierto delante de nuestros ojos, pero que no puede
entenderse si no aprendemos primero a comprender la lengua y a conocer
los caracteres con que se haescrito. Est´ escrito en lengua matem´tica, y
a
a
los caracteres son tri´ngulos, c´
a
ırculos y otras figuras geom´tricas sin los
e
cuales es humanamente imposible entender una palabra; sin ellos se
deambula en vano por un laberinto oscuro”
G. Galilei

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RLC circuit

Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

“La naturalezaest´ escrita en ese libro enorme que tenemos
a
continuamente abierto delante de nuestros ojos, pero que no puede
entenderse si no aprendemos primero a comprender la lengua y a conocer
los caracteres con que se ha escrito. Est´ escrito en lengua matem´tica, y
a
a
los caracteres son tri´ngulos, c´
a
ırculos y otras figuras geom´tricas sin los
e
cuales es humanamente imposible entenderuna palabra; sin ellos se
deambula en vano por un laberinto oscuro”
G. Galilei

Las EDO lineales con coeficientes constantes tienen dos ´reas
a
importantes de aplicaci´n:
o
1. Oscilaciones Mec´nicas
a
2. Oscilaciones El´ctricas
e

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Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

Vibraciones mec´nicas
a

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Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

Vibraciones mec´nicas
a

Consideraciones:
1. Modelamos la fuerza del resorte con la ley de Hooke.
2. La fuerza de resistencia (amortiguamiento): Fd (x) = −c
(si velocidad de la masa no es muy grande)
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du
dt

.

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Damped Vibrations
Forced Vibrations

As´ las fuerzas involucradas son:
ı,
1. El peso de la masa
2. Fuerza del resorte
3. Fuerza de resistencia

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Damped Vibrations
Forced Vibrations

As´ las fuerzas involucradas son:
ı,
1.
2.
3.
4.
5.

El peso de la masa
Fuerza delresorte
Fuerza de resistencia
Alguna fuerza externa “pro-movimiento”, FE (t)
Fuerza total

De acuerdo a la ley de Newton

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Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

As´ las fuerzas involucradas son:
ı,
1.
2.
3.
4.
5.

El peso de la masa
Fuerza del resorte
Fuerza de resistencia
Alguna fuerza externa“pro-movimiento”, FE (t)
Fuerza total

De acuerdo a la ley de Newton
M

d 2u
du
+c
+ k u = FE (t)
2
dt
dt

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(1)

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Damped Vibrations
Forced Vibrations

Oscilaciones libres (no amortiguadas)
Si no hay fuerza externa ni amortiguamiento sobre el sistema, se
obtiene que (1) se reduce a
m

d 2u
+ku = 0.
dt 2

Si nombramos la constante ω0 =

k/m,

d 2u
+ (ω0 )2 u = 0,
dt 2
cuya soluci´n es:
o

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(2)

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Mechanical Vibrations
Damped Vibrations
Forced Vibrations

Oscilaciones libres (no amortiguadas)
Si no hay fuerza externa ni amortiguamiento sobre el sistema, se
obtiene que (1) se reduce a
m

d 2u
+ ku = 0.dt 2

Si nombramos la constante ω0 =

k/m,

d 2u
+ (ω0 )2 u = 0,
dt 2
cuya soluci´n es:
o
u = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t).
La constante ω0 es llamada frecuencia circular natural .
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Ejemplo 1: Oscilador Arm´nico Simple
o
Sea un sistema no amortiguado...