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¿Qué es composición de funciones?
En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresaque (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.

A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Definición:
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la funcióncomposición (g∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos de X.

También se puede representar de manera gráfica usando la categoría de conjuntos, mediante un diagrama conmutativo:


En otras palabras entendemos la composición de funciones como la aplicación de dos o más funciones de forma consecutiva, es decir primero se compone una, con el resultado obtenido se compone la segunda, con el resultado de la segundase compone la tercera y así sucesivamente. El procedimiento que lleva a cabo la composición es denominado como la regla de la cadena.

Dadas dos funciones f(x) i g(x) en números reales, definimos la composición como la función que obtenemos en aplicarle a la función f las imágenes de g(x). Es decir primero se aplica la función g(x) y después f(x) al resultado.



Como vemos gráficamente,debemos seguir un orden inverso para aplicar la composición. Con orden descendente, desde la función de más hacia la derecha hasta la función inicial.



También debemos tener claro que utilizar la composición no es más que hacer el valor número de una función. Pero en lugar de hacerlo con un valor real lo hacemos mediante una función.



Ejemplos:
Sean las funciones:



La funcióncompuesta de g y de f que expresamos:


La interpretación de (f ∘ g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso


y después aplicamos f a z para obtener


Propiedades:
La composición de funciones es asociativa, es decir:

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

Por ejemplo, dadas lasfunciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².
La inversa de la composición de dos funciones es:


Dominio de la composición de funciones:
Para calcular el dominio de una composición, debemos calcular primeramente la composición y después encontrar el dominio.

Ejemplo. Sean las funciones:   . Encontrar 



Dominio 

¿Grafica por diagramade sagital?
Se puede utilizar el diagrama sagital para representar  tanto relaciones como funciones, en esta caso se usara para representar la siguiente relación:
•Definimos el Conjunto de partida conformado por José, Ana, Luis, Raúl, Silvia, Carlos, Pedro y Omar.
•Definimos el conjunto de llegada cuyos elementos son las asignaturas Matemática, Biología, Lenguaje y Historia.
•Por ultimodefinimos la relación entre los dos conjuntos anteriores de la siguiente forma José, Ana y Luis tienen preferencia por Matemática;  Ana, Raúl y Silvia tienen preferencia por Biología y Luis, Carlos y Pedro tienen preferencia por Lenguaje e Historia; Omar no tiene preferencia.

Ejemplo:









¿Hacer 5 operaciones de composición?
 
Leyes de Composición - Definición y Ejemplos
En estasección definimos el concepto de operación entre elementos de un conjunto; concepto que hemos utilizado tácitamente en todas nuestras matemáticas elementales. Se dará además una definición precisa de las propiedades más comunes de las que gozan estas operaciones. Esto permitirá introducir posteriormente la noción de grupo.
Definición 1. Sea  un conjunto no vacío. Cualquier...