docu

Algoritmo de la factorizaci´n LU
o
1. Objetivo. Estudiar el algoritmo de la factorizaci´n LU de una matriz cuadrada ino
vertible.
2. Requisitos:
Matrices elementales y su relaci´n con operaciones elementales.
o
Matriz inversa, propiedades de multiplicaci´n de matrices.
o
Criterio de existencia de la factorizaci´n LU .
o

Explicaci´n del m´todo
o
e
Definici´n (factorizaci´n LU ). Unafactorizaci´n LU de una matriz A ∈ Matn (F) es
o
o
o
un par de matrices (L, U ), donde L, U ∈ Matn (F), U es triangular superior, L es triangular
inferior y todos los elementos diagonales de L son iguales a 1.
3. Unicidad de la factorizaci´n LU en el caso de matrices invertibles. Nos
o
restringimos a matrices invertibles. Si una matriz en invertible y admite una factorizaci´n
o
LU ,entonces tal factorizaci´n es unica.
o
´
4. Factorizaci´n LU en t´rminos de matrices elementales. Dada una matriz A
o
e
cuyos menores de esquina todos son no nulos, construyamos las matrices L y U . Vamos a
construirlas paso a paso. Primero ponemos L := I, U := A. En cada paso del algoritmo
ser´ valida la igualdad A = LU . Empezamos a convertir U en una matriz triangular
a
superior alaplicar operaciones elementales de tipo Ri + = λRj , j < i. Cada vez, cuando
hacemos la operaci´n Ri + = λRj con las filas de U , i.e. multiplicamos U del lado izquiero
o
por E+ (i, j, λ), tenemos que multiplicar L del lado derecho por E+ (i, j, −λ), i.e. hacer con
L la operaci´n de columnas Cj − = λCi .
o
5. Ejemplo con razonamientos extensos. Construyamos la factorizaci´n LU de la
o
matriz

−1
3
2
1 .
A =  3 −4
2
5 −2
Soluci´n. Podemos escribir A en forma A = LU con L = I, U = A:
o



1 0 0
−1
3
2
1 .
A =  0 1 0   3 −4
0 0 1
2
5 −2

p´gina 1 de 6
a

Ahora vamos a eliminar el elemento U2,1 = 3 usando el elemento U1,1 = −1 como pivote.
Tenemos que hacer con U la operaci´n de filas R2 + = 3R1 . Es lo mismo que multiplicar U
o
del lado izquierdopor la matriz elemental E+ (2, 1, 3). Para compensar esta multiplicaci´n
o
y conservar el mismo valor del producto LU , tenemos que multiplicar L del lado derecho
por E− (2, 1, −3):





1 0 0
1 0 0
1 0 0
−1
3
2
1 .
A =  0 1 0   −3 1 0   3 1 0   3 −4
0 0 1
0 0 1
0 0 1
2
5 −2
Multipliquemos U por E+ (2, 1, 3) del lado izquierdo, i.e. hagamos con U la operaci´nde
o
filas R2 + = 3R1 . Multipliquemos L por E− (2, 1, 3) del lado derecho, i.e. hagamos con L
la operaci´n de columnas C1 − = 3C2 :
o



1 0 0
−1 3
2
7 .
A =  −3 1 0   0 5
0 0 1
2 5 −2
Es f´cil checar que el producto de las matrices nuevas es igual a la matriz A. Ahora
a
queremos eliminar el elemento U3,1 = 2 usando como pivote el elemento U1,1 = −1. Para
esto, metemosentre L y U las matrices E+ (3, 1, −2)E+ (3, 1, 2):





1 0 0
1 0 0
1 0 0
−1 3
2
7 .
A =  −3 1 0   0 1 0   0 1 0   0 5
0 0 1
−2 0 1
2 0 1
2 5 −2
Hagamos las operaciones elementales
con L):

1
 −3
A=
−2

correspondientes (R3 + = 2R1 con U , C1 − = 2C2


0 0
−1 3 2
1 0  0 5 7 .
0 1
0 11 2

Nos falta eliminar U3,2 = 11 usando U2,2 = 5 comopivote. Metemos entre L y U las
matrices elementales E+ (3, 2, 11/5)E+ (3, 2, 11/5):





1 0 0
1
0 0
1
0 0
−1 3 2
1 0  0
1 0  0 5 7 .
A =  −3 1 0   0
−2 0 1
0 11/5 1
0 −11/5 1
0 11 2
o
Apliquemos la operaci´n elemental de filas R3 − = 11 a la matriz U y la operaci´n eleo
5
11
mental de columnas C2 + = 5 a la matriz L:



−1 3
2
1
0 0
1 0  0 5
7 .A =  −3
0 0 −67/5
−2 11/5 1
p´gina 2 de 6
a

Respuesta:



1
0 0
1 0 ,
L =  −3
−2 11/5 1




−1 3
2
7 .
U = 0 5
0 0 −67/5

Comprobaci´n:
o

 

−1 + 0 + 0
3+0+0
2+0+0
−1
3
2
−6 + 7 + 0  =  3 −4
1  = A.
LU =  3 + 0 + 0 −9 + 5 + 0
2 + 0 + 0 −6 + 11 + 0 −4 + 77/5 − 67/5
2
5 −2
6. Ejemplo sin razonamientos extensos. Construyamos la...