Documentacion

CAPITULO # 3
RESPUESTA EN EL TIEMPO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
 INTRODUCCION A LA RESPUESTA EN EL TIEMPO
El análisis de la respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide en:
 Respuesta transitoria.
 Respuesta en estado estable.
Respuesta transitoria Resp. en edo. estable
Respuesta en el tiempo
 Respuesta transitoria: Es la respuesta que representa un sistema de controldesde su estado inicial hasta su estado final.
 Respuesta en estado estable: Es la forma en que se comporta la variable controlada cuando el tiempo tiende a infinito.
Resp. Transitoria Resp. en edo. Resp. transitoria Resp. en edo.
Estable estable
Elemento
Entrada de Acción de final de
Referencia control control Planta Variablecontrolada
Sistema de medición
Para analizar la respuesta deun sistema de control se utilizan como entradas al sistema de señales de prueba simples como las siguientes:
 Función impulso.
 Función escalón.
 Función rampa.
 Función aceleración.
 Función senoidal.
 Función impulso unitario (t)
[r(t)] = R(s) = [(t)] =1
0 t < 0
" t = 0
r(t) =
0 t > 0
 Función escalón de magnitud k [kU (t)]
r(t) [r(t)] = R(s) = [kU (t)] =k/s
kt
0 t < 0
r(t) =
k t " 0
c) Función rampa con pendiente m (mt)
r(t) [r(t)] = R(s) = [mt] =m/s²
0 t < 0
t
r(t) = mt t " 0
d) Función aceleración ct² con pendiente c
r(t) [r(t)] = R(s) = [ct²] =2c/s³
t
0 t < 0
r(t) =
ct² t " 0
e)Función senoidal A sen wt
r(t) [r(t)] = R(s) = [A sen wt] =Aw/s² + w²
wt
0 t < 0
r(t) =
A sen wt t " 0
Graficas de sistemas estables:
r(t)c(t)
sistema
t t
r(t) c(t)
sistema
t t
t) c(t)
sistema
t
t t
Un sistema de control lineal es inestable si la variable controlada presenta una oscilación por tiempo indefinido, o sí dicha variable diverge sin limite de su estado de equilibrio.
Graficas de sistema inestables:
r(t) c(t)
sistema
t
r(t) c(t)
sistema
t t
r(t) c(t)
sistema
t t
Para sus análisis lossistemas de control se clasifican en:
* Sistemas de primer orden.
* Sistemas de segundo orden.
* Sistema de orden superior.
Recordemos que el orden de un sistema de control lo va a determinar el orden de la ecuación diferencial que representa al sistema ó también lo podemos determinar a partir de la función de transferencia y será igual al orden del polinomio del denominador dedicha función de transferencia.
 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN.
R(s) C(s)
C(s) /R(s) = [1/s] /[1 + 1/s (1)] = 1 / s + 1
C(s) / R(s) = 1 / s + 1 Función de transferencia
En general la función de transferencia de un sistema de primer orden se puede representar de la siguiente manera:
C(s) / R(s) = k / s + 1
Donde :
K = Ganancia del sistema.
= Constante del tiempo.
Ejemplo: Obtener la respuestaen el tiempo de un sistema de primer orden cuando es excitado con un escalón de magnitud k.
R(s) C(s)
r(t) = kU (t)
R(s) = k / s
Solución: c(t) = ?
C(t) = [c(s)] c(s) = [G(s) / 1 + GH(s)] R(s)
C(s)/R(s) = [1/s] / [1+1/s] (1) = 1 / s + 1
C(s) = [1 / s + 1][k/s]
C(s) = k/ s(s+1/) = A/s + B/ (s+1/)
k / = A(s+1/) + B(s)
para s = -1/ k / = A(0) + B(-1/)
B=-k
Para s=0 k / = A(1/) + B(0)A=k
C(s) = k/s - k / [s + 1/]
Antitransformando:
C(t) = kU (t) - ke = k(1-e)
C(t) = k (1 - e)
Para obtener el valor final ó valor en estado estable aplicaremos el teorema de valor final.
C(") = lim c(t)
t"
c(t) = lim k [1-e] = k
c(") = k
Constante de tiempo (): Es el tiempo en el cual la variable controlada alcanza el 63.2% del valor final.
La función de transferencia para un sistemade primer orden es:
C(s)/R(s) = k / s + 1
A la ecuación s+1= 0 se le conoce como ecuación característica en general la ecuación característica es:
* + GH(s) = 0
ahora si graficamos los polos de la ecuación de un sistema de primewr orden en el plano complejo
jw
s + 1= 0
s = -1/
-1/
la respuesta de un sistema de control depende de l la naturaleza de las raíces de la ecuación...