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GUÍA

DE

MATEMÁTICAS

III

Lección 4:
Proporcionalidad
La proporcionalidad es un tema que hemos venido estudiando
desde el primer grado de secundaria, sobre todo en la lección 7
del segundo curso. La idea de proporcionalidad se sitúa dentro
de una relación entre dos clases de cantidades o medidas. Una
vez que se establece la relación es posible decir si en ella existeproporcionalidad o no. Veamos algunos ejemplos.
Mayra y Lety fueron a comprar dulces, Mayra compró
6 caramelos y pagó $0.15. Lety se llevó 12 caramelos
y pagó $0.30.
Como vemos, en este
ejemplo hay una relación
entre la cantidad de dulces y la
cantidad de dinero que se paga
por ellos. Además esta relación
cumple una propiedad que la
caracteriza de manera especial.
Observemos que Lety compró eldoble de caramelos que Mayra,
ya que 12 es el doble de 6, pero
también Lety pagó 30 centavos,
que es el doble de lo que pagó

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LECCIÓN 4
Mayra. En esta relación vemos que a más caramelos, más es
lo que hay que pagar y no sólo esto, sino que el aumento es
proporcional.
Otros ejemplos de este tipo de relaciones son las tablas
de precios que tienen algunas taquerías o tortillerías, o losnegocios de fotocopiadoras. A las relaciones de este tipo se
les llama relaciones directamente proporcionales.
Nacho y Manuel tienen cada uno un tanque para
almacenar agua, y ambos tanques son idénticos. Para
llenarlos tienen que caminar al pozo, llenar sus cubetas
y regresar a su casa para vaciarlas en su tanque. Nacho
tiene una cubeta de 10 litros, Manuel tiene una cubeta
de 20 litros.Por esta razón, cuando el tanque está vacío,
para llenarlo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel
sólo da 5 vueltas.
Al analizar este ejemplo observamos que hay una relación
entre la capacidad de las cubetas y el número de vueltas que
hay que dar para llenar tanques iguales. Cuando las cubetas son
más grandes se requiere dar menos vueltas. En esta relación,
a diferencia de la del primerejemplo, a más capacidad de las
cubetas menos vueltas hay que dar. Por esto decimos que es
una relación inversa, pero además el aumento en la capacidad
se relaciona con la disminución en el número de vueltas
proporcionalmente, ya que cuando la capacidad de las cubetas
es el doble, el número de vueltas se reduce a la mitad. En cada
viaje Nacho acarrea 10 litros, mientras que Manuel lleva 20litros,
el doble. Así mismo Nacho da 10 vueltas mientras que Manuel da
5 vueltas, la mitad.

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Otro ejemplo de este tipo de relaciones sucede cuando dos
vehículos recorren una misma distancia a diferentes velocidades.
El que viaja a mayor velocidad se llevará menos tiempo en hacer
el recorrido, el que viaja a menor velocidad tardará más en
llegar. Aeste tipo de relaciones se les llama inversamente
proporcionales.
En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades
de relaciones tanto directa como inversamente proporcionales.
Presentaremos ejemplos y situaciones cuyo conocimiento nos
puede facilitar la resolución de problemas. Conviene aclarar que
no cualquier relación es directa o inversamente proporcional: hay
relaciones queno son proporcionales. El siguiente es un ejemplo
de relación que no es proporcional:
El área de un círculo está dada por la fórmula A = πr2.
Entonces si tenemos un círculo de radio 3 cm y usando para
π la aproximación 3.1416, el área es igual a 28.2744 cm2.
Si tomamos una circunferencia del doble de radio, esto es
de radio 6 cm, al sustituir en la fórmula y hacer los cálculos
resulta que elárea es 113.0976 cm2, que no es el doble de
28.2722. Si bien es cierto que a mayor radio, mayor área,
el aumento no es proporcional al aumento del radio.

Proporcionalidad directa
El primer ejemplo de la sección anterior es un ejemplo de
proporcionalidad directa. Para estudiar las propiedades de este
tipo de relación vamos a ver el caso de la venta de caramelos
y completaremos los datos...