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Universidad Central de Venezuela
Facultad de Ingeniería
Ciclo Básico
Departamento de Matemática Aplicada

CLASES DE
CÁLCULO
II
(0252)

Semestre
2-2009

José Luis Quintero
Julio - Agosto 2009

Cálculo

II

(0252)

Semestre 2-2009

TEMA 1
INTEGRAL
INDEFINIDA O
ANTIDERIVADA

Semestre
2-2009

José Luis Quintero
Julio 2009

TEMA 1

GUIA TEÓRICA - PRÁCTICA
U.C.V.1.1.

F.I.U.C.V.

INTEGRAL
INDEFINIDA O
ANTIDERIVADA

INTRODUCCIÓN
Hasta este momento se ha estudiado la rama del Cálculo llamada Cálculo Diferencial,

en la que se estudia la derivada. En este tema se iniciará el estudio de la otra rama del Cálculo
denominada Cálculo Integral. Estas dos ramas están relacionadas mediante los teoremas
fundamentales del Cálculo, descubrimientoculminante en el siglo XVII realizado por Newton y
Leibniz, quienes trabajaron en forma independiente. Fue Arquímedes el precursor del cálculo
integral. Arquímedes calculó áreas y volúmenes aplicando un método similar al actual. Leibniz
y Newton descubrieron el cálculo tal como hoy se le conoce. Gauss hizo la primera tabla de
integrales. Cauchy aplicó las integrales a los números complejos. Riemanny Lebesgue dieron a
las integrales una base lógica firme. Hermite encontró un algoritmo para integrar funciones
racionales.

1.2.

PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN
En temas anteriores se aprendió a obtener, vía definición y regla de derivación, la

función derivada de una función. Además se probó que es única, es decir, una función tiene
una sola función derivada. Se considera ahora el problemainverso de la derivación: Dada una
función f(x), determinar otra función F(x) tal que F '(x) = f(x) .
Definición 1. Una función F(x) es la primitiva de una función f(x) en un intervalo I si y sólo
si F '(x) = f(x) , para cada x ∈ I .

1.3.

INTEGRAL INDEFINIDA
Como ya se dijo anteriormente, una función tiene una única derivada; sin embargo la

primitiva no es única. De modo que si F(x)es primitiva de f(x) en el intervalo I entonces la
expresión F(x) + C describe todas las primitivas de f(x) y es llamada primitiva general de
f(x). La primitiva general F(x) + C representa una familia de funciones que dependen de la
constante C y sus gráficas guardan entre sí una relación geométrica de traslación vertical (ver
figuras 1 y 2).
Ejemplo 1. La derivada de la función f(x) = x2 esla función g(x) = 2x . Sin embargo, cuando
se quiere encontrar una función tal que su derivada corresponda a g(x) se tiene que no es
única.

José Luis Quintero

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U.C.V.

F.I.U.C.V.

INTEGRAL
INDEFINIDA O
ANTIDERIVADA

En este caso, el conjunto de funciones corresponde a la familia y = x2 + C , donde C es
un número real.
Se puede afirmar que y= x2 + C es la solución general de la ecuación diferencial

y ' = 2x .
Definición 2. Una ecuación diferencial en x e y es una ecuación que involucra a x, a y y a
derivadas de y.
Por ejemplo y ' = 3x o y ' = x2 + 1 son ecuaciones diferenciales.

Figura 1. Algunos miembros de la familia de funciones de la forma y=x2 +C

Figura 2. Algunos miembros de la familia de funciones de la formay=sen(x)+C

José Luis Quintero

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INTEGRAL
INDEFINIDA O
ANTIDERIVADA

La familia o conjunto de todas las primitivas de f(x), recibe el nombre de integral
indefinida de f y tiene una notación que fue introducida por Gottffried Leibniz:

El símbolo de integral

∫

∫ f(x)dx .

(sigma) proviene del griego y significa suma,cuando se trate

la integral definida se hablará de la razón de ello.
Definición 3. (Integral indefinida).

∫ f(x)dx = F(x) + C si y sólo si F '(x) = f(x) .

La función f(x) recibe el nombre de integrando, dx indica que la variable de
integración es x y C se llama constante de integración.
Vale la pena destacar dos aspectos:
a. La integración es el proceso inverso a la derivación.
b. La...