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3.1 AREAS
El área es una medida de la extensión de una superficie, expresada en unidades de medida denominadas superficiales. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando noexiste confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

Sin embargo, para calcular el área de superficies curvas se requiere introducir métodos degeometría diferencial. Para poder definir el área de una superficie en general –que es un concepto métrico–, se tiene que haber definido un tensor métrico sobre la superficie encuestión: cuando la superficie está dentro de un espacio euclídeo, la superficie hereda una estructura métrica natural inducida por la métrica euclídea.

3.1.1 Área bajo la gráfica de una función.

3.1.2 Area Entre las Graficas de Funciones
Una forma para hallar el área delimitada entre dos funciones, es utilizando el cálculo integral:

El resultado de esta integral es el área comprendidaentre las curvas:
f(x) y g(x)[<f(x)] y en el intervalo [a,b] .
Ejemplo Si se quiere hallar el área delimitada entre el eje x y la función f(x) = 4 − x2 en el intervalo [ − 2;2], se utiliza la ecuación anterior, en este caso: g(x) = 0 entonces evaluando la integral, se obtiene:
Por lo que se concluye que el área delimitada es 32/3.El volumen encerrado entre dos funciones también puede serreducido al cálculo de una integral.
Ejemplo de Aplicación 1:

La siguiente grafica representa el área entre funciones explicada anteriormente:

Ejemplo De Aplicacion 2:

La figura 5 hace la función de representar el área desarrollada anteriormente

3.2 Longitud de curvas
Longitud de curvas

Es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Formulacion

Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f´(x) que son continuas en un intervalo [a, b], lalongitud S del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

3.4 Cálculo de centroides. 3.5 Otras aplicaciones
CENTROIDE
Siempre que la densidad de un cuerpo tenga el mismo valor en todos lo s puntos, la misma figurará como factor constante, de los numeradores y denominadores de las ecuaciones, y por tanto desparecerá .
Las expresiones definen entonces una propiedad del cuepo puramentegeométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera unicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide.
Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones delcentroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aqullos no coincidarán, en general.
Los cálculos relacionados con los centroides caen dentro de 3 categorías clarmente definidas según que la forma del cuerpo en cuestión pueda ser representada por una línea, una superficie o un volumen
Para líneas.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada de lalínea))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada de la línea))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada de la línea))/masa
Para superficies.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del área))/masa
En y = (Distancia del eje Y x (derivada del área))/masa
En z = (Distancia del eje Z x (derivada del área))/masa
Para volumenes.-
En x = (Distancia del eje X x (derivada del volumen))/masa...