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III. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
3.1. FUNCIÓN EXPONENCIAL
Hemos estado manejando en este trabajo expresiones del tipo y = x n en donde “ x ” es
una variable llamada base y “ n ” una constante llamada exponente, si intercambiamos de
lugar la base y el exponente obtenemos una expresión del tipo y = n x la cual recibe el
nombre de función exponencial, siendo muy importante su estudiopara la solución de
muchos problemas.
Definición:
Si a > 0 entonces la función exponencial con base a se define como: y = f ( x ) = a x
donde x es cualquier número real.
Su dominio son los números reales D = (− ∞, ∞ ) , su imagen o rango son los números
reales positivos R = (0, ∞ ) .
Observando que para a > 1 si “ x ” crece “ y ” también lo hace rápidamente y si “ x ”
disminuye “ y ” seacerca a cero lo cual se ilustra con las siguientes gráficas.
EJEMPLOS
1) Dibuje las gráficas de las funciones exponenciales y = 2 x y y = 3 x , sobre el mismo
sistema coordenado.
Solución
Como su dominio son todos los números reales D = (− ∞, ∞ ) , tabulando algunos valores se
tiene:

62

Se observa que el eje de las equis, de ecuación y = 0 es asíntota horizontal de este tipo decurvas.
2) Trace la gráfica de la función y = 2 − x
Solución
Tabulando:

En los ejemplos 1) y 2) se observa que el punto (0,1) es común a todas las gráficas de
funciones del tipo y = a x (todo número real excepto cero elevado a la cero potencia es igual
a uno).
Existe un número irracional “e” utilizado con mucha frecuencia en funciones
exponenciales, dado que y = e x tiene infinidad deaplicaciones prácticas como teóricas. En
cursos superiores se aclarará la enorme importancia que tiene el número “e” en el desarrollo
de la MATEMÁTICA. El valor aproximado del número “e” es 2.71828… y la gráfica de y = e x
quedará entre las gráficas de y = 2 x y y = 3 x del ejemplo 1).
3) El número “ y ” de bacterias en millones, en un cultivo, “ t ” horas después de iniciado el
t

experimentoviene dado por y = f (t ) = 20e 3 . Se pregunta:
a) El número de bacterias al principio del experimento.
b) El número de bacterias después de una hora y de dos horas.
c) Graficar la función.
Solución
0
3

a) Como t = 0 ; y = 20e = 20e 0 ⇒ y = 20 . Existían 20 millones de bacterias al iniciar el
experimento.
63

1

b) Si t = 1 ⇒ y = 20e 3 = 20(1.3956 ) = 27.912 . Existen 27.912 millonesde bacterias después de
una hora.
2
3

Si t = 2 ⇒ y = 20e = 20(1.9477 ) = 38.955 . Existen 38.955 millones a las dos horas, casi el
doble que al inicio del experimento.
Para dibujar la gráfica obtendremos el número de bacterias a las 3 y 4 horas para obtener
más puntos de la gráfica.
3
3

y (3) = 20e = 20(2.7183) = 54.4366
4
3

y (4 ) = 20e = 20(3.7937 ) = 75.874

x : tiempo enhoras
t : millones de bacterias

2
4) Traza la gráfica de la función y =  
3
Solución

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−x

5) Dibuja la gráfica de la función

1
y= 
2

x

Solución

EJERCICIOS
Dibujar la gráfica de las siguientes funciones:
1) y = 4 x

1
2) y =  
4

x

1
3) y = 4 
2
4) y = e − x

x

2

5) Obtener la estatura y en centímetros para un niño de 2años de edad si esta
determinada por la función: y = 79 + 6.4t − e 3.25−t

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3.2. FUNCIÓN LOGARITMO
Como ya hemos visto anteriormente, la inversa de una función exponencial y = a x ,
con a > 0 , se obtiene intercambiando la “ y ” por la “ x ” y la “ x ” por la “ y ” : x = a y , y al
despejar de esta última la variable “ y ”, se obtiene la función logarítmica y = log a x , que se
lee“logaritmo de x de base a ” y como el dominio y el rango de la función exponencial
y = a x son: D = (− ∞, ∞ ) , R = (0, ∞ ) , entonces en la función logarítmica y = log a x , se cambian
los papeles, resultando que su dominio y su rango son D = (0, ∞ ) , R = (− ∞, ∞ ) .
Definición:
y = log a x si y solo si x = a y
con a > 0 , y x > 0

Lo que verbalmente podemos decir “el logaritmo de un...