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La transformada de Laplace en la física nuclear
Federico R. Jasson
Estudiante de Ingeniería en Sistemas de Computación
Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 1253, B8000CPB Bahía Blanca, Argentina
federicojasson@gmail.com

Agosto 2011

Resumen: Se estudiará la aplicación de la transformada de Laplace en el ámbito de la física nuclear, más específicamente, en
su utilización paracálculos referidos al fenómeno de la radiación. Se presenta una breve introducción al tema, sin abundar en
demasiados detalles, ya que lo que se intenta remarcar son las facilidades que brinda la herramienta matemática mencionada.
Palabras clave: transformada, Laplace, aplicación, radiación, desintegración.

I.

INTRODUCCIÓN

Para la descripción precisa de muchos fenómenos físicos dinámicos serequieren ecuaciones diferenciales.
La desintegración nuclear, como se verá, forma parte de dichos fenómenos. Si bien ciertas ecuaciones
diferenciales particulares pueden resolverse en forma directa, la resolución de muchas otras no es tan sencilla, y
requiere la aplicación de métodos más elaborados. Uno de estos es la transformada de Laplace, que puede
utilizarse con dicho fin.

II. LATRANSFORMADA DE LAPLACE COMO HERRAMIENTA MATEMÁTICA
La transformada de Laplace provee un método práctico para resolver ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes:
(1)
Resolver la ecuación implica hallar la función f(t) que satisfaga esta relación. Hacer esto en forma directa
puede resultar muy complejo.
Sin embargo, las propiedades de la transformada de Laplace para la derivaciónpermiten reducir el problema
a uno algebraico. Notar que:
(2)
por lo que deben conocerse los valores iniciales de la función y sus derivadas.
El proceso posee tres etapas, esquematizadas en la figura 1:
- Aplicar la transformada de Laplace a ambos miembros de la ecuación.
- Despejar L{ f(t) }.
- Antitransformar L{ f(t) } para hallar f(t).
Probablemente el último paso sea el máscomplicado, pues en general, al despejar L{ f(t) } se obtiene un
cociente de polinomios:
(3)

Figura 1: esquema de resolución de ecuaciones diferenciales a partir de la transformada de Laplace
Antitransformar esta expresión suele requerir primero descomponerla en fracciones parciales. Por
supuesto, la complejidad de este proceso no se compara con la de resolver la ecuación diferencial en formadirecta, por lo que el método sigue siendo útil de todas formas.

III. EL FENÓMENO DE LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
A. Introducción
Todos los núcleos atómicos contienen dos tipos de partículas fundamentales, los protones y los neutrones.
Algunos de dichos núcleos son inestables y espontáneamente emiten partículas y radiación electromagnética.
Este fenómeno se conoce como radioactividad.
B.Origen del fenómeno
Para comprender por qué ocurren los fenómenos radioactivos, es necesario analizar las fuerzas que actúan
en el interior de los núcleos.
De acuerdo con la ley de Coulomb, las cargas eléctricas iguales se repelen y las cargas opuestas se atraen.
En consecuencia, existe una fuerza de repulsión entre los protones que tiende a romper el núcleo. Esta fuerza es
considerable, teniendoen cuenta la pequeñísima distancia entre dichas partículas.
Sin embargo, además de la repulsión, también hay atracciones de corto alcance entre las partículas (protones
y neutrones), que se deben a las fuerzas nucleares actuantes.
La estabilidad de cualquier núcleo atómico depende de la diferencia entre las fuerzas de repulsión y las
fuerzas de atracción. Cuando la repulsión es mayor que laatracción, el núcleo se desintegra y emite partículas y
radiación. Si la fuerza de atracción predomina, el núcleo es estable.
El factor principal que determina la estabilidad del núcleo es la relación neutrón-protón. La figura 2
representa el número de neutrones frente al número de protones. Los núcleos más estables se localizan en una
zona llamada cinturón de estabilidad. Claramente, la...