documentos




Taller n°2 Algebra Lineal: Minimos cuadrados

Integrantes: Matias Garrido
Gerardo Lafourcade
Sebastian Moreno
Benjamín Poblete
Fecha: 12/05/13
Sección: 1

















Resumen ejecutivo
El objetivo principal de este taller es aprender y utilizar el método de mínimos cuadrados. En este se pretendeexplicar en que consiste este método, dar las ventajas que se obtienen al utilizarlo, cuando es posible aplicarlo, como se implementa numéricamente y aplicarlo directamente a 2 problemas planteados. Se utilizara (en este ocasión) la ayuda del programa matlab para generar los códigos necesarios para aplicar el método de minimos cuadrados y a su vez observar gráficamente el trabajo realizado.
Peroantes de resolver estos 2 problemas, se observa con exactitud un ejemplo en donde se explica en generalidad este método para luego aplicarlo en los próximos ejercicios.
Una vez ya hecha la explicación de mínimos cuadrados, se procede a responder 2 problemas, en donde se aplica directamente el método de mínimos cuadrados.Se relaciona y compara con las interpolaciones ya sean lineal, polinomica o porspline y se determina que método es mas factible y conveniente a utilizar.


Índice
Introducción
Definición del método de minimos cuadrados
Problema 1
Graficos
Problema 2
Conclusión
BibliografÍa









Introduccion
En comparación con el taller anterior en donde se intentaba trazar una curva que pasara por puntos definidos, en este caso, ahora intentaremos encontrar lamejor de tal forma que se minimice el cuadrado de diferencias en cada punto. Para realizar esto se sabe que el método de minimos cuadrados es una perfecta alternativa para el problema planteado ya que este método entrega un erro o residuo muy pequeño entregando un resultado muy cercano al valor real. En ejemplo, dada una serie de puntos en xi,yi y se requiere encontrar la mejor recta, esta tendría queser de forma que la suma de las diferencia al cuadrado sea minima.



GLOSARIO COMANDOS MATLAB

zeros(k,l) : produce matriz nula de k filas y l columnas.
A(k,l) : calcula el coeficiente que está en la k- ésima fila y l-ésima columna.
A(: , k) : columna k de A.
A(k , : ) : fila k de A.
[A B] : es la matriz aumentada con las columnas de A seguidas de las columnas de BA*B : producto de matrices, cuando sea posible.
A+B : suma de matrices, ambas deben ser de la misma dimensión.
A-B : resta de matrices, ambas deben ser de la misma dimensión.
rand(k,l) : produce una matriz aleatoria de k filas y l columnas.
A' : produce la matriz transpuesta de A.
dot(x,y) : producto punto entre vectores de igual dimensión.
norm(x) : longitud del vector xx'*y : producto punto de dos vectores columna x,y de (nx1)
u*v' : producto punto de dos vectores fila u,v de (1xn)
rref(A) : produce la forma escalonada reducida de A
2.-Trabajo:
Método de mínimos cuadrados:
Es un método para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión. El ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajustede una línea recta a un conjunto de parejas de datos observadas:
(X1,Y1),(X2,Y2), … , (Xn,Yn)
La recta resultante y=a+bx+E, en donde a y b son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, E es el error o residuo entre las observaciones.
El problema lineal genérico de mínimos cuadrados se plantea formalmente en los siguientes términos:
Dada una matrizA e Rmxn, de rango k = n), se llega a una relación de la forma Ax = b, donde A e Rmxn, x e Rn y b e Rm.







Laboratorio Matlab

3.- Problemas:

1.- Caso Basico:

a) Usando una recta:

La formula general de una recta es y = mx + n, por lo tanto para determinar la recta es necesario encontrar m y n dos ctes. Si tenemos los puntos (0,0)(1,2)(2,1)(3,4)(4,3) los reemplazamos...