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PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
PROBLEMAS ALGEBRAICOS

1) La suma de un número y su cuadrado es 42. Calcula dicho número.
Sea x dicho número
2

La suma del nº y su cuadrado es 42: x + x = 42
−1 + 13

x =
=6
−1 ± 1 − 4·(− 42) −1 ± 13  1

2
x + x – 42 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x = −1 − 13 = −7
 2
2

2

El número es 6.

2) La diferencia entre los cuadrados de dosnúmeros consecutivos es 71. Calcula dichos
números.
Sean x, x + 1 dichos números.
2

2

La diferencia entre sus cuadrados es 71: (x+1) – x = 71
2

2

x + 2x + 1 – x = 71 ⇒ 2x = 70 ⇒ x = 35
Los números son 35 y 36.

3) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 85. Calcula dichos números.
Sean x, x + 1 dichos números.
2

2

La suma de sus cuadrados es 85: (x+1) + x = 852

2

2

x + 2x + 1 + x = 85 ⇒ 2x + 2x – 84 = 0
−1 + 13

x =
=6
−1 ± 1 − 4·1· (−42) −1 ± 13  1

2
x + x – 42 = 0 ⇒ x =
=
=
2·1
2
 x = −1 − 13 = − 7
 2
2

2

Los números son los pares (6, 7) y (-7, - 6).

4) Halla dos números consecutivos cuyo producto es 380.
Sean x, x + 1 dichos números.
El producto es 380: x(x + 1) = 380
−1 + 39

x =
= 19
−1 ± 1 − 4·1·(−380) −1 ± 39  1
2

2
x + x – 380 = 0 x =
=
=
2·1
2
 x = −1 − 39 = − 20
 2
2


Los números son los pares (19, 20) y (-20, -19).

Luisa Muñoz

1

PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS

5) Halla dos números cuya suma es 20 y su producto 84.
Sean x e y ambos números
La suma es 20 : x + y = 20 ⇒ y = 20 – x

Planteamos la ecuación: (20 – x) x = 84

Su producto es 84 :xy = 84
2

x – 20x + 84 = 0 ⇒ x =

20 ±

20 + 8

 x = 2 = 14 ⇒ y1 = 20 − 14 = 6
202 − 4·84 20 ± 8  1
=
=
2
2
 x = 20 − 8 = 6 ⇒ y = 20 − 6 = 14
1
 2
2


Los números son 14 y 6.

6) Halla dos números cuya suma es 11 y la de sus cuadrados 65.
Sean x e y ambos números
La suma es 11: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x
2

2

2

2

2

Planteamos la ecuación: (11 – x) + x= 65

2

La suma de sus cuadrados es 65: x + y =
65
2

121 + x – 22x + x = 65 ⇒ 2x – 22x + 56 = 0
11 + 3

x =
= 7 ⇒ y1 = 11 − 7 = 4
11 ± 112 − 4·28 11 ± 3  1

2
x – 11x + 28 = 0 ⇒ x =
=
=
2
2
 x = 11 − 3 = 4 ⇒ y = 11 − 4 = 7
1
 2
2

2

Los números son 7 y 4.

7) Halla dos números positivos cuya diferencia sea 7 y la diferencia de sus cuadrados 63.
Sean x e yambos números
La diferencia es 7: x – y = 7 ⇒ y = x – 7

2

2

2

La diferencia de sus cuadrados es 63: x – y
= 63
2

2

Planteamos la ecuación: x – (x – 7) =
63

2

x – x + 14x – 49 = 63 ⇒ 14x = 112 ⇒ x = 8
Los números son 8 y 1.

2

8) Un rectángulo tiene una superficie de 30 m y su perímetro 22 m. Calcula las dimensiones de
dicho rectángulo.
Sean x = altura ; y = basePerímetro es 22: x + y = 11 ⇒ y = 11 – x

Planteamos la ecuación: x(11 – x) = 30

Área es 30: xy = 30
2

2

11x – x = 30 ⇒ x – 11 x + 30 = 0
11 + 1

x =
= 6 ⇒ y = 11 − 6 = 5
11 ± 112 − 4· 30 11 ± 1  1

2
x=
=
=
2·1
2
 x = 11 − 1 = 5 ⇒ y = 11 − 5 = 6
 2
2


Las dimensiones son 7 x 4 m

Luisa Muñoz

2

PROBLEMAS CON ECUACIONES Y SISTEMAS
2

9) Para vallaruna finca rectangular de 750 m se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las
dimensiones de la cerca.
Sean x = ancho ; y = largo
Perímetro es 110: x + y = 55 ⇒ y = 55 – x

Planteamos la ecuación: x(55 – x) = 750

Área es 750: xy = 750
2

2

55x – x = 750 ⇒ x – 55x + 750 = 0
x=

55 + 25

x =
= 40 ⇒ y = 40 − 15 = 25
552 − 4· 750 55 ± 25  1

2
=
=
2·1
2
 x = 55 − 25 =15 ⇒ y = 40 − 25 = 15
 2
2


55 ±

Las dimensiones son 25 x 15

10) Los tres lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 3, 4 y 5. Halla la
2
longitud de cada lado sabiendo que el área es 24m .
Sean 3x, 4x y 5x los tres lados del triángulo
Área es 24:
2

3x · 4x
= 24
2
2

12x = 48 ⇒ x = 4 ⇒ x = 2
Las medidas de los lados son 6, 8 y 10 m.
2

11) Un...