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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
Educación a Distancia
Academia de Matemáticas

CUADERNO DE TRABAJO
PARA EL CURSO DE

DESARROLLO DE PENSAMIENTO MATEMÁTICO PARA EMPRESAS
MÓDULO I: SEMANA 4
Límites de una función.

ELABORADO POR:
M.E.M. CRISTINA ANTONIA LAGUNES HUERTA
M. M. JUAN JOSÉ DÍAZ PERERA

Octubre 2013

CUADERNO DE TRABAJO: SEMANA 4

Límite de una función
Definición(operacional) del límite de una función
Si f es una función definida en [a, b] con la posible excepción de c ∈ [a, b], decimos que L es el límite de f
cuando x tiende a c, si dado un argumento x muy cercano a c (tan próximo como se desee) hallamos que su
imagen está también muy cerca de L.

Léase “el límite de una función f, cuando x tiende a c es L”

lím f ( x) = L
x →c

También serepresenta como:
f ( x) → L

si x → c

Léase “la función f en x tiende a L. cuando x tiende a c”

Cálculo de límite
Sustitución directa
El cálculo del lím f (x) para funciones definidas en c, cuyo gráfico en la cercanía de c pueda
x→ c

hacerse con un solo trazo, es relativamente fácil de realizar. Se utilizan para ello las propiedades
de los límites de la sección anterior. Para este tipo defunciones se verifica que:
lím f ( x) = f (c)
x →c

Ejemplos:
Calcular:
a) lím (3x 2 − 2 x + 1)
x → −1

Solución:
Este caso corresponde al límite de un polinomio. Así, lím (3x 2 − 2 x + 1) = 3(−1) 2 − 2(−1) + 1 = 6
x → −1

2

b) lím 2 x − 7 x
x →3
7x − 5

Solución:
Para este caso, es fácil comprobar que x=3 pertenece al dominio de definición. Por consiguiente:
2 x 2 − 7 x 2(3)2 − 7(3)
3
=
=−
x →3 7 x − 5
7(3) − 5
16

lím

Puedes observar que para resolver el límite se sustituye
el valor al cual tiende ‫.ݔ‬

Lagunes, C., J. Díaz.
2

CUADERNO DE TRABAJO: SEMANA 4

Eliminación de factores en funciones cociente
Cuando se trata de funciones de la forma f ( x) = p ( x) , donde q( x) ≠ 0 , habrás de tener cuidado
q( x)

con los números fuera del dominioque, para cada caso del cociente de dos polinomios, son las
raíces del denominador. Se presenta así dos casos:
1. x=c no es una raíz del denominador q(x) . Es decir, q( x) ≠ 0 .
2. x=c es una raíz. Es decir, q(c) = 0
Ejemplos:
Calcular:
a) lím

x →1

Antes de continuar sustituye el valor de 1 en las ‫.ݔ‬

x 2 −1
x 2 + 2x − 3

Solución:
Si sustituimos x=1 en el numerador y eldenominador, llegamos al caso 0 .
0

Esto significa que x=1 es raíz del denominador y del denominador. Factorizando ambos se
obtiene:
lím
x →1

( x + 1)( x − 1)
x 2 −1
= lím
x 2 + 2 x − 3 x →1 ( x + 3)( x − 1)

Recuerda los casos de factorización

Eliminando ahora el factor (x-1), y queda como resultado:
lím

x →1

x 2 −1
x +1 1+1 2 1
= lím
=
= =
2
x →1 x + 3
1+ 3 4 2
x + 2x− 3

4
3
b) lím x3 − x 2
x →0

x + 3x

Solución:
Factorizando al máximo el denominar y el numerador, se obtiene:
lím
x →0

x 3 ( x − 1)
x4 − x3
= lím 2
3
2
x → 0 x ( x + 3)
x + 3x

De donde, después de eliminar el factor x2 del denominador.
Lagunes, C., J. Díaz.
3

CUADERNO DE TRABAJO: SEMANA 4

lím

x →0

x ( x − 1) 0(0 − 1) 0
x4 − x3
= lím
=
= =0
3
2
x→0x+3
0+3
1
x + 3x

Racionalización
La racionalización del denominador es también una herramienta para calcular límite de una
función algebraica, cuando a través de este proceso es posible eliminar el factor que se anula en
el denominador.
Ejemplo: Calcular lím
x →9

x−9
x −3

Antes de continuar sustituye el valor de 9 en las ‫ .ݔ‬Revisa los siguientes
enlaces:http://www.youtube.com/watch?v=P9ijLLs8V1U
http://www.slideshare.net/maverickmx/limites-por-racionalizacin

Solución:
Observa que si se sustituye x =9 en el denominador, éste se anula, lo cual impide el cálculo
directo del límite; sin embargo, se racionaliza el denominador multiplicando por 1, formado por
la siguiente expresión. Por el momento solo trabajaremos la expresión sin la parte de límite.
lím
x →9...