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Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica comopara construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólocomo herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de lateoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, ErnstZermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.
Teoría básica de conjuntos: La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y estanoción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, yse indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas ry planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
Álgebra de conjuntos: Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lomenos en uno de ellos.
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.
Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algúnconjunto referencial) que no pertenecen a A.
Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su...
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