DODECAEDRO

DODECAEDRO
Un dodecaedro regular es un poliedro platónico que tiene 12 caras que son pentágonos regulares.
Un dodecaedro (del griego δώδεκα, ‘doce’ y ἕδρα; ‘asiento’, ‘posición’, en geometría ‘cara’) es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedroes convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Cálculo de dimensiones fundamentales:
Radio externo: 
Radio interno: 
En todo poliedro regular, el número de caras más el número de vértices, es igual al número de aristas más 2. Se conoce como característica de Euler, una propiedad topológica.

dónde: C = número de caras; V = número de vértices; A =número de aristas.
Área: El área total de sus caras, A (que es 12 veces el área de una de ellas, Ac) es igual a:

También se puede con esta fórmula basada en parte en la trigonometría:

Volumen: Para un dodecaedro de arista A, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Ángulos diedros:
Los ángulos entre cada par de caras son:

Propiedades particulares
Simetría
Dado deun juego de rol en forma de dodecaedro.
Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y uncentro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un ordende simetría total de 120: 2x(6x5+15x2). Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado Ih según la notación de Schöenflies.
El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del dodecaedro en triángulos se pueden construir domos geodésicos.Aplicaciones y ejemplos
En los juegos de rol el dado de doce caras es un dodecaedro regular. Su notación escrita es «D12», Se usan dodecaedros de Rubik y Calendarios Dodecaedros También es la forma más usual para la construcción de las fuentes sonoras omnidireccionales usadas para realizar ensayos acústicos de aislamiento a ruido aéreo.
ICOSAEDRO
Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo ocóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.
Cálculo de dimensiones fundamentales
Radio externo

Radio interno

Ángulo
El ángulo que forman los vectores que van del centro a dosvértices adyacentes es constante y vale:

Volumen, área y desarrollo
Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

(Aproximadamente 2,18·a³)
Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

(Aproximadamente 8,66·a²)
Desarrollo del icosaedro: 




Coordenadas cartesianas y estructura
Los 12pentágonos internos que constituyen el icosaedro determinan las caras del gran dodecaedro.
Las siguientes coordenadas cartesianas definen los vértices de un icosaedro centrado en el origen:
(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)
Donde φ = (1+√5)/2 es la razón áurea (también escrito como τ). Nótese que los vértices de un icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonales entre sí. Elicosaedro contiene en su interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contiene a dos aristas opuestas. Esto se debe a que dos lados del rectángulo es la arista del icosaedro y los otros dos son las diagonales de dos pentágonos regulares paralelos girados 180 grados. La diagonal del pentágono regular está en proporción áurea con el lado del pentágono, que en este caso es la arista del...