Dominio y Rango

Dominio y Rango de una Función
El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x; esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales.
Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar lafunción son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función:
f(x) = ,
Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadradade un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como:

El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variabledependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función.
Ejercicios Resueltos:
1. Halle el dominio de la función

Para hallar el dominio es necesario que se cumpla :

2. Halle el dominio de la función :

Para hallar el dominio es necesario que se cumpla :

Usaremos el método de los puntos críticos. Haciendo x – 4 = 0, x + 3 = 0, x+1 = 0, x +4 = 0 , entonces x = 4, x = – 3, x = – 1, x = – 4. Si los ubicamos en la recta numérica se tiene que

3. Hallar el rango de la función f (x) = –x2 + 6x –5
Como –x2 + 7x –10 = 4 – (x – 3)2 , y 4 – (x – 3)2 4 entonces f(x) 4.
Luego

4. Hallar el rango de la función
Como entonces f(x) 3.
Luego

: Ejercicios Propuestos :

Dadas las siguientesfunciones, halle su dominio y rango.

a) f (x) = x2 – 6x + 8 f) f (x) = –x2 – 8x
b) h(x) = x2 + x – 20 g)
c) h)
d) i)
e) j)

GRAFICA DE FUNCIONES:
Ejercicios Resueltos:

1. Graficar la función
Para graficar f construimos una tabla de valores y obtenemos así la figura :

Función : f(x) = –x2 + 4x + 5

x | f(x) |
-2 | -7 |
-1 | 0 |
0 | 5 |
1 | 8 |2 | 9 |
3 | 8 |
4 | 5 |
5 | 0 |
6 | -7 |



2. Graficar la función:

Como en el ejemplo anterior hacemos una tabla de valores y obtenemos la figura :

x | f(x) |
-3 | 3 |
-2 | 2 |
-1 | 1 |
0 | 0 |
1 | 1 |
2 | 0 |
3 | -1 |
4 | 0 |
5 | 1 |
6 | 2 |
7 | 3 |

Ejercicios propuestos
A.- FUNCIONES ALGEBRAICAS |
| Función   f(x) = x(x - 3) 2Dominio: R
Signo: Negativa en (- inf, 0) Positiva en (0, +inf)
Cortes con los ejes: (0, 0), (3, 0)
Simetrías: No tiene
Asintotas: No tiene, es poli nómica |
CRECIMIENTO 
Creciente: (-inf, 1)(3, +inf)
Decreciente: (1, 3)EXTREMOS RELATIVOS
Máximo: (1, 4);
Mínimo: (3, 0) | CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION
Convexa: (2, +inf)
Cóncava: (-inf, 2)
Punto de inflexión: (2, 2) |
|Función   f(x) = 2x 3 - 3x 2
Dominio: R
Signo: Negativa en (- inf, 3/2) Positiva en (3/2, +inf)
Cortes con los ejes: (0, 0), (3/2, 0)
Simetrías: No hayAsintotas: No tiene
|
Crecimiento
Creciente: (-inf, 0)(1, +inf)
Decreciente: (0, 1)Extremos Relativos
Máximo: (0, 1);
Mínimo: (1, -1) | Concavidad y puntos de inflexion 
Convexa: (1/2, +inf)
Cóncava: (-inf, 1/2)
Punto de inflexión:(1/2, -1/2) |
| Función   f(x) = x 3 - 3x 2 - 2
Dominio: R
Signo: f(3)0
Cortes con los ejes: en x = 3,195 que pertence al intervalo (3, 4)
Simetrías: No hayAsintotas: No tiene |
Crecimiento 
Creciente: (-inf, 0)(2, +inf)
Decreciente: (0, 2)Extremos Relativos
Máximo: (0, -2);
Mínimo: (2, -6) | Concavidad y puntos de Inflexion 
Convexa: (1, +inf)
Cóncava: (-inf, 1)
Punto...