Domino

Jugando con el Domin´
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Antonio M. Oller Marc´n
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1.

Introducci´n
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Todos conoc´is el juego del domin´. Es m´s que probable que hay´is jugado m´s de una
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vez e incluso que alguno sea un experto. Ahora bien, si se os preguntase si hay relaci´n entre
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el domin´ y las matem´ticas ¿sabr´ responder? Una relaci´n evidente y algo tonta es que
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aparecenn´meros. Pero las matem´ticas son mucho m´s que trabajar con n´meros y hacer
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cuentas. En las actividades que vamos a realizar a continuaci´n vamos a jugar con (y no al)
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domin´. La idea es que pens´is, que busqu´is un motivo a las cosas que suceden, pues esto
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s´ tiene mucho m´s que ver con las matem´ticas (todo en realidad) que los n´meros y las
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cuentas.
Nuncaest´ de m´s saber un poco de la historia de aquello con lo que uno va a trabajar. S´lo
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vamos a dar unas peque˜´
nısimas pinceladas. Se cree que el domin´, como tantos otros juegos del
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mismo tipo, naci´ en China hace unos 3000 a˜os. De all´ pas´ a Egipto y cuando lo descubrieron
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los ´rabes le a˜adieron las fichas blancas1 . En Europa, d´nde somos tan listos y creemos haberloa
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inventado todo, no consta que se jugar´ hasta el siglo XVIII en Italia. Actualmente existen
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incluso campeonatos nacionales, europ´os y mundiales2 . Por ultimo indicar que el domin´ tiene
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una relaci´n muy muy estrecha con los dados ¿Se te ocurre cu´l pueda ser?
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2.

Contando Fichas

En un juego de domin´ usual aparecen las cifras entre 0 y 6. Como dibujar aqu´las fichas de
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domin´ es muy complicado las representaremos con los n´meros entre par´ntesis; por ejemplo
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(1,4).
Vamos a contar cu´ntas fichas hay en un juego de domin´. En realidad esto es muy sencillo,
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s´lo hay que contar a mano, despu´s de un breve tiempo se llegar´ a la repuesta que es 28.
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Pero, si quisi´ramos fabricar un macro-juego de domin´ en el queaparecieran las cifras desde 0
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hasta 25 est´ claro que har´ falta muchas m´s piezas ¿cu´ntas?3 Si quisi´ramos llegar hasta
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el 50 empieza a ser inc´modo tener que contar . Parece entonces que nos puede interesar buscar
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una f´rmula para contar el n´mero de piezas que forma un juego de domin´ en funci´n de las
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cifras que aparezcan en ´l. Para ello vamos a revisar elmodo en el que hemos contado las 28
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piezas del juego original.
Vamos a fijarnos primero en cu´ntas veces aparece el 0. Lo hace en el (0,0); en el (0,1) y
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as´ hasta el (0,6); es decir, 7 veces. A continuaci´n nos fijamos en el 1. Aparece en el (1,0)
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Recuerda que los ´rabes son los que introdujeron la cifra ‘0’ en Europa
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Puedes buscar informaci´n en internet sobre la FIDO
o3
Veremos que son 351
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Salvo que te guste mucho contar hasta 1326
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[pero ¡ojo! este ya lo hemos contado], en el (1,1) y as´ hasta el (1,6) lo que nos da un total de
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6 apariciones. Si seguimos mirando veremos que el 2 aparece 5 veces, el 3 lo hace 4, el 4 en 3
ocasiones, el 5 en 2 y el 6 en 1. S´lo nos queda sumar y tenemos:
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7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28
Lo importante dela forma en la que hemos contado las fichas reside en que lo hemos hecho
ordenadamente, siguiendo un m´todo. Esto nos va a permitir exportar esta manera de contar a
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otros casos mayores. Por ejemplo supongamos que tenemos un domin´ que llega hasta el n´mero
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25 y vamos a contar del mismo modo que antes. En este caso el 0 aparece en 26 ocasiones, el 1
lo hace en 25 y as´ sucesivamente.As´ el n´mero de fichas que aparece es:
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26 + 25 + 24 + . . . + 4 + 3 + 2 + 1 = 351
Es m´s, si en nuestro juego queremos que aparezcan las cifras 0, 1,. . . , n y contamos de la
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misma manera veremos que el n´mero de fichas total (que llamaremos F (n)) es:
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F (n) = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n + 1)
Tenemos ahora otro problema: calcular el valor de la suma 1 + 2 + . . . + (n + 1)....