DOMONIOS

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DOMINIO Y RANGO

3.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES
Cuando se grafica una función existen las siguientes posibilidades:
a)
b)
c)
d)

Que la gráfica ocupe todo el plano horizontalmente (sobre el eje de las x).
Que la gráfica ocupe parte del plano horizontalmente (sobre el eje de las x).
Que la gráfica ocupe todo el plano verticalmente (sobre el eje de las y).
Que la gráficaocupe parte del plano verticalmente (sobre el eje de las y).

Por ejemplo, si se grafica la ecuación de la circunferencia
4

( x − 2)

2

+ ( y + 3 ) = 49
2

como puede verse en la figura 3.1, la gráfica no
ocupa todo el espacio horizontal ni verticalmente.
En x la gráfica ocupa el espacio que va desde
x = − 5 hasta x = 9 , o sea en el intervalo
− 5 ≤ x ≤ 9 ; mientras que en y lagráfica ocupa el
espacio que va desde y = − 10 hasta y = 4 , es
decir en el intervalo − 10 ≤ y ≤ 4 . Fuera de esos
dos intervalos no existe gráfica.

-5

9

-10

figura 3.1

Lo anterior significa que al tabular para hacer la
circunferencia anterior, a la variable x solamente se le pueden dar valores que vayan de x = − 5
hasta x = 9 . En otras palabras, cada vez que se le dé un valor a lax que esté dentro del intervalo − 5 ≤ x ≤ 9 , se obtiene un valor para la y ; pero si se le da un valor fuera de ese intervalo no
se obtiene nada para y .

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DOMINIO Y RANGO

Por ejemplo, si x = 5 , sustituyendo en la ecuación de la circunferencia se obtiene:

( x − 2)
(5 − 2)

2

+ ( y + 3 ) = 49

2

+ ( y + 3 ) = 49

2

2

A(5; 3.32)

4

9 + ( y + 3 ) = 492

( y + 3)

3

( y + 3)

2

1 2 3 4 5 6 7

= 49 − 9

= 40

y + 3 = ± 40
y + 3 = ± 6 . 32

-10

B(5; -9.32)

y = ± 6 . 32 − 3
figura 3.2

de donde

y1 = + 6 . 32 − 3

y1 = 3 . 32 (corresponde al punto A en la figura 3.2)

y2 = − 6 . 32 − 3
y2 = − 9 . 32 (corresponde al punto B en la figura 3.2).
En cambio, si se le da un valor de x = 11 , como está fuera delintervalo de la gráfica, no se
obtiene nada para la y. Haciéndolo:

(11 − 2 )

2

+ ( y + 3 ) = 49
2

92 + ( y + 3 ) = 49
2

81 + ( y + 3 ) = 49
2

( y + 3)

2

= 49 − 81

( y + 3)

2

= − 32

lo cual no es posible porque ninguna cantidad elevada al cuadrado da un número negativo.

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3.2 DOMINIO
El dominio, en términos no técnicos, son todoslos valores que se le pueden dar a la variable
x con los cuales la variable dependiente y adquiere a su vez un valor real y bien determinado. O
bien, son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales se obtiene su gráfica.

El dominio es el conjunto de puntos o valores que puede tomar la variable
independiente x en los cuales está definida la función.

Obsérvese queen el ejemplo de la circunferencia anterior no se le pudo dar a la x el valor de
x = 11 porque no se podía obtener nada para la variable y; significa que x = 11 no pertenece
al dominio. Visto en la gráfica, en x = 11 no hay gráfica.
Los valores que no puede tomar la variable x son dos: los que hacen cero el denominador o
los que hacen negativa una raíz cuadrada. En realidad hay más, pero eneste curso solamente se
tomarán en cuenta esos dos.
De tal manera que el dominio de cualquier función (al menos de las que se verán en este curso) se puede sintetizar en la siguiente regla:

El dominio de cualquier función son todos los valores o números de la recta
numérica, desde − ∞ hasta + ∞ , que queden después de quitar todos
aquellos que hacen cero el denominador (o denominadores) oque hagan
negativa una raíz cuadrada.

Para encontrar los valores que hacen cero el denominador (o los denominadores), se iguala a
cero el denominador y se resuelve la ecuación que resulta. Para encontrar los valores que hacen
negativa una raíz cuadrada se construye una desigualdad haciendo el subradical menor que cero.
Se deduce de lo anterior que toda función que no tenga denominadores...