doria
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Publicado: 22 de abril de 2014
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
una función definida en el intervalo
Sea
función
, se define la transformada de Laplace de
, la cual simbólicamente se representa como
{
}por la
.
Nota: Puesto que la integral que aparece en la definición de transformada de Laplace, es una integral
impropia entonces se puede expresar como:
La integral por lo tanto puede ser ono convergente, es decir que la transformada de Laplace puede o no
existir.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Veamos ahora las condiciones necesarias para la existencia de la transformada de Laplace de una
.Se introducen algunas definiciones previas, ilustrando los conceptos que se pretenden
función
establecer en dichas definiciones:
Decimos que una función
es continua por partes en un intervalofinito
si las únicas
discontinuidades de
en este intervalo son discontinuidades de salto. Además, el número de
discontinuidades debe ser finito. Las siguientes gráficas ilustran este concepto:Las figuras 1,2 son continuas en todo el intervalo
, por lo tanto ambas funciones son continuas a
trozos en el intervalo. La figura 3 muestra una función que no es continua en t = 4, y la figura4, muestra
una función que no es continua en t = 2. Pero la discontinuidad en la función de la figura 3, es de salto,
en tanto que la discontinuidad en la figura 4, y en el punto t = 2 es infinita yaque
En el siguiente teorema se establecen las condiciones necesarias para la existencia de la transformada
de Laplace de funciones:
Teorema 7 Existencia de la transformada Laplace
Si
es unafunción continua en
excepto posiblemente en un número finito de puntos donde
se presentan discontinuidades de salto, y si además, existen números positivos M y t0 tal que para
:
, para todot
entonces
{
}= F(s) existe para s > β.
Si una función
satisface la condición
del teorema anterior, para valores positivos de
M y t0, se dice que
es de orden exponencial, y...
una función definida en el intervalo
Sea
función
, se define la transformada de Laplace de
, la cual simbólicamente se representa como
{
}por la
.
Nota: Puesto que la integral que aparece en la definición de transformada de Laplace, es una integral
impropia entonces se puede expresar como:
La integral por lo tanto puede ser ono convergente, es decir que la transformada de Laplace puede o no
existir.
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Veamos ahora las condiciones necesarias para la existencia de la transformada de Laplace de una
.Se introducen algunas definiciones previas, ilustrando los conceptos que se pretenden
función
establecer en dichas definiciones:
Decimos que una función
es continua por partes en un intervalofinito
si las únicas
discontinuidades de
en este intervalo son discontinuidades de salto. Además, el número de
discontinuidades debe ser finito. Las siguientes gráficas ilustran este concepto:Las figuras 1,2 son continuas en todo el intervalo
, por lo tanto ambas funciones son continuas a
trozos en el intervalo. La figura 3 muestra una función que no es continua en t = 4, y la figura4, muestra
una función que no es continua en t = 2. Pero la discontinuidad en la función de la figura 3, es de salto,
en tanto que la discontinuidad en la figura 4, y en el punto t = 2 es infinita yaque
En el siguiente teorema se establecen las condiciones necesarias para la existencia de la transformada
de Laplace de funciones:
Teorema 7 Existencia de la transformada Laplace
Si
es unafunción continua en
excepto posiblemente en un número finito de puntos donde
se presentan discontinuidades de salto, y si además, existen números positivos M y t0 tal que para
:
, para todot
entonces
{
}= F(s) existe para s > β.
Si una función
satisface la condición
del teorema anterior, para valores positivos de
M y t0, se dice que
es de orden exponencial, y...
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