Dos Ejercico Resueltos De Calculo Diferencial

Páginas: 2 (277 palabras) Publicado: 24 de abril de 2012
El radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años, calcula el porcentaje depérdida en 100 años.
Solución
 
Sea N la cantidad de sustancia presente en cualquier instante y sea   la cantidad de sustancia original, por tanto de acuerdo al enunciado del problematenemos:
 

Resolviendo la ecuación por separación de variables vemos que:
 

 
integrando tenemos:

 
y aplicando propiedades de logaritmos podemos anotar:
 

es decir:
 

 Como  esta en función del tiempo, podemos expresar la ecuación como:
 

 
y ahora considerando que para  , vemos que:
 

 
es decir:

 
Así la ecuación de   toma la forma:

 
Acontinuación considerando que para  años,

 
Anotamos:

 
Por lo que despejando K tenemos:

entonces:

 
Finalmente  si 

 
por lo que el porcentaje de pérdida en 100 años es:
 En cierto cultivo de bacterias la velocidad de aumento de población es proporcional al número presente en cualquier instante. Si se sabe que el número original  se ha duplicado en 6hrs. ¿Qué número se debe esperar al cabo de 12 hrs.?
Solución
 
Sea “  ” el número de bacterias presentes en un instante dado y   la velocidad de aumento de  . Por lo tanto tenemos:

 Resolviendo la ecuación por separación de variables vemos que:
 

 
por tanto tenemos que:

 
y aplicando propiedades de logaritmos expresamos como:
 

 
por tanto:

 
yconsiderando que en  , habrá una cantidad inicial   vemos que:
 

 
entonces  la ecuación toma la forma:

 
Ahora bien, considerando que en   tenemos:
 

Por lo que despejando k:

  
con lo que la ecuación se puede expresar como:
 

De esta forma, para   hrs.:

 
Lo que significa que al cabo de 12 hrs. la cantidad de bacterias se habrá cuadruplicado
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