dosier de topologia

INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA
LIC. ZIVEC RICARDO J.

-2015-

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PROLOGO
La Topología general, también llamada topología de conjuntos de puntos, es ya
una parte esencial del curriculum de los que estudian matemática, tanto a nivel de
subgrado como a nivel de grado. Su objeto es el estudio de la lejanía y cercanía
de entes abstractos, los símbolos,

signos y objetos geométricos,

nuestrosantepasados debieron reconocer su imperiosa necesidad de una rama de la
matemática rigurosa desde el momento en que empezaron a realizar
intercambios de saberes a través de correspondencias.
El objetivo primordial es lograr que los alumnos del Instituto Superior de
Formación Docente de Aguilares

puedan incorporar los rudimentos necesarios

para la aprehensión de saberes fundamentales para laincorporación en una
matemática rigurosa como hoy se lo exige.
Sabemos que desde hace años la enseñanza de la matemática en todos los
niveles está en verdadera crisis: la mayor parte de las veces fallamos en suscitar
motivación. El alumno no pasa de ser un mero receptáculo de conocimiento que
difícilmente puede digerir y que lo llevan rápidamente a la frustración y al fracaso.
Es por eso que unode mis grandes objetivos y propósitos a cumplir es que el
estudiante, mas precisamente el futuro Profesor en Matemáticas se familiarice
con el pensamiento matemático y adquiera un hábito de razonamiento.
Debe adquirir la impresión de que las matemáticas no son una colección de
trucos y recetas, sino una ciencia sistemática de importancia práctica que
descansa en un número relativamentepequeños de conceptos básicos y que
involucra métodos unificadores poderosos.
En muchas ocasiones los estudiantes cuestionan a los docentes por difundir una
matemática

mecanizada,

mi

ideal

es

pregonar

una

matemática,

más

precisamente una Topología con sentido, a través de problemas, situaciones
cotidianas en la vida y logrando un excelente construcción de conocimientos y
tratando de logrardespertar en el alumno una actitud y predisposición para la
investigación de nuevos conocimientos.

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ÍNDICE
CAPITULO I
•
•
•
•
•

Topología Geométrica……………………………………………………….5
Grafos………………………………………………………………………….5
Caminos Eulerianos…………………………………………………………11
Grafos Planos………………………………………………………………..12
Bandas que se deforman…………………………………………………..15

CAPITULO II
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•
•
•

TopologíaGeneral……………………………………………..……………19
Topología discreta…………………………………………………………..20
Topología indiscreta…………………...……………………………………21
Conjuntos abiertos y cerrados……………………………………………..22
Topología Cofinita…………………………………………………………...25

CAPITULO III
• Topología Euclidiana…………………..…………………………………..27
• Base de una Topología……………………………………………………..28
• Base de una Topología dada………………………………………………30

CAPITULO IV
• Puntos limites yclausura………………………………………………….31
• Vecindades……………….…………………………………………………32
• Conexidad…………………………………………………………………..33

CAPITULO V
• Homeomorfismo…………………………………………………………...35
• Subespacios………………………………………………………………..35
• Espacios no Homeomorfos……………………………………………….37

CAPITULO VI
•
•
•
•

Funciones Continuas………………………………………………………..38
Teorema del Valor Intermedio……………………………………………..40
Teorema del Valor Intermedio deWeierstrass…………………………..41
Teorema del punto fijo………………………………………………………42

CAPITULO VII
•
•
•
•
•
•

Espacios Métricos…………………………………………………………...43
Esferas Abiertas……………………………………………………………..44
Topologías Métricas………………………………………………………...44
Axioma de separación………………………………………………………45
Espacios Métricos Isométricos…………………………………………….46
Espacios de Hilbert………………………………………………………….46
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• EspaciosNormados…………………………………………………………47
• M-Espacios Euclidianos……………………………………………………47

CAPITULO VIII
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•
•
•
•

Compacidad…………………………………………………………………48
Conjuntos Compactos………………………………………………………48
Espacios de Hausdorff y Compacidad……………………………………49
Espacios localmente Compactos………………………………………….50
Compactación………………………………………………………………..50
Lema del Numero de Lebesgue…………………………………………...52...