Dr. Matemáticas

M´todos num´ricos e e

1.

Derivaci´n num´rica o e

Las f´rmulas de derivaci´n num´rica son importantes en el desarrollo o o e de algoritmos que resuelvan aplicaciones de ingenier´ y ciencias. En parıa ticular, algoritmos que resuelvan problemas de contorno (edo, edp), problemas de control ´ptimo (flujos, carga, distribuci´n), problemas econom´tricos o o e (portafolios de inversi´n, costos,disminuci´n de p´rdidas), etc. Las razones o o e expuestas y algunas m´s sin nombrar, son la pauta para entender la impora tancia de aprender y desarrollar la derivaci´n num´rica. As´ en la presente o e ı, secci´n se dar´n los lineamientos generales para tal fin. o a

1.1.

Marco te´rico o

Consideremos una funci´n f (x) de la cual se conoce un conjunto discreto o de valores (x0 , f0 ), (x1 ,f1 ), . . . , (xn , fn ). El problema que vamos a abordar es el de calcular la derivada de la funci´n en un punto x que, en principio, o no tiene porqu´ coincidir con alguno de los que figuran en los datos de que e disponemos. En primer lugar, recordemos la definici´n de derivada de una funci´n o o f (x), ´sta establece que: e f (x) = l´ ım f (x + h) − f (x) . h→0 h (1)

Basados en la definici´n,podemos deducir que necesitamos encontrar un o “h” lo suficientemente peque˜o que permita utilizar la definici´n. n o Utilizando esta idea, podemos construir una sucesi´n {hk } tal que: o f (x + h1 ) − f (x) h1 f (x + h2 ) − f (x) h2 ⇒ h2 f (x + h3 ) − f (x) h3 ⇒ h3 . . . . . . . . . f (x + hn ) − f (x) , hn ⇒ hn h1 ⇒ donde h1 > h2 > h3 > . . . > hn . Numericamente este procedimiento (sucesi´n) sedentendr´ hasta que se encuentre un hk , (k ∈ N) lo suficientemente o a peque˜o para asegurar que n f (x + hk ) − f (x) hk es una buena aproximaci´n a la derivada de f (x). o

1

pℵ m

M´todos num´ricos e e Observaci´n o Como se podr´ notar, desde un punto de vista pr´ctico, no es necesario a a construir la sucesi´n {hk } para obtener la derivada de la funci´n, sino que o o bastar´ con elegirhi ∈ {hk } lo suficientemente peque˜o, de tal forma que la a n aproximaci´n se acerque al valor verdadero. o

1.2.

F´rmulas en diferencias o

La forma m´s sencilla de resolver el problema de la diferenciaci´n num´ria o e ca consiste en estimar la derivada utilizando f´rmulas obtenidas mediante la o aproximaci´n de Taylor, que se denominan f´rmulas de diferencias finitas. o o Si la funci´n f(x) puede evaluarse en puntos que est´n a ambos lados de o a x, la derivada de una funci´n puede ser determinada a trav´s de f´rmulas o e o de diferencias finitas: centradas, progresivas o regresivas; todo depender´ del a tipo de informaci´n que se disponga. o 1.2.1. Centradas [Orden O(h2 )] Puntos 2 3 4 5 Derivada f (x) f (x) f (x) f (4) (x) F´rmula o
f1 −f−1 2h f1 −2f0 +f−1 h2 f2 −f1 +2f−1 −f−22h3 f2 −4f1 +6f0 −4f−1 +f−2 h4

1.2.2.

Centradas [Orden O(h4 )] Puntos 4 5 6 7 Derivada f (x) f (x) f (x) f (4) (x) F´rmula o
−f2 +8f1 −8f−1 +f−2 12h −f2 +16f1 −30f0 +16f−1 +f−2 12h2 −f3 +8f2 −13f1 +13f−1 −8f−2 +f−3 8h3 −f3 +12f2 −39f1 +56f0 −39f−1 +12f−2 −f−3 6h4

2

pℵ m

M´todos num´ricos e e 1.2.3. Adelantadas Puntos Derivada 2 f (x) 3 5 3 4 f (x) f (x) f (x) f (x)
f1 −f0 hF´rmula o + O(h) + O(h2 ) + O(h4 )

−f2 +4f1 −3f0 h

−3f4 +16f3 −36f2 +48f1 −25f0 12h f2 −2f1 +f0 h2

+ O(h) + O(h2 )

−f3 +4f2 −5f1 +2f0 h2

1.2.4.

Retrasadas Puntos 3 Derivada f (x)
3f0 −4f −1+f−2 2h

F´rmula o + O(h2 )

1.3.

Influencia de los errores

Es importante tener en cuenta que el proceso de diferenciaci´n num´rica o e es inestable. Los errores que tengan los datos;por ejemplo, los cometidos en la adquisici´n de los mismos o los debidos al redondeo aumentan en el o proceso de diferenciaci´n. o As´ debido a la naturaleza discreta del computador los resultados num´riı, e cos no son exactos y el error de redondeo o de truncaci´n est´n siempre preo a sentes en los c´lculos. Por ello, cuando calculamos derivadas num´ricamente a e el error en la soluci´n es la...