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TEMA: EQUIVALENCIAS LÓGICAS
I. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIVALENTES
Cuando sus tablas de verdad de dos proposiciones p y q son idénticos se denominan equivalentes (o lógicamente equivalentes) en este caso se simboliza en la forma p  q.
Ejemplo:
Las proposiciones (p  q) y (q  p) son lógicamente equivalentes, puesto que sus tablas de verdad son idénticos. En efecto:

p
q
pq
q p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
F V F
V F F
F V V
V V V

Idénticos
p  q  q  p

OBSERVACIÓN
1. La equivalencia de este ejemplo es muy importante, porque viene a ser la base del llamado método de demostración por Reducción al absurdo, en una forma indirecta de un proceso de demostración que se va a utilizar en el desarrollo delcurso.
2. Un par de proposiciones equivalentes p  q resulta siempre una equivalencia lógica p  y viceversa, por esta razón cuando se tiene una equivalencia lógica entre p y q, también se dice p  q.

II. PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS
Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas proposicionales tautológicas de carácter general y que a partir de estasleyes lógicas se puede generar otras tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos.




Los tres principios lógicos clásicos:

1. Ley de identidad

p  q “una proposición sólo son
p  q idénticos así mismo”

2. Ley no contradicción

(p  p) “una proposición no puede serverdadero y falso a la vez”.

3. Ley del Tercio exclusivo.
p   p “es una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posibilidad”


EQUIVALENCIAS NOTABLES

1. Ley de la doble negación.

(p)  p “la negación de la negación es una afirmación”

2. Ley de la idempotencia.

a. p  p  p b. p  p  p

3. Leyes conmutativas.

a. (p  q)  p b. (p  q)  (q p)

c. p  q  q  p

4. Leyes asociativas

a. p  (q  r)  (p  q)  r

b. p  (q  r)  (p  q )  r

c. p  (q  r)  (p  q)  r





5. Leyes distributivas

a. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

b. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

c. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

d. p  (q  r)  (p  q)  (p  r)

6. Leyes De Morgan.

a. (p  q)  p  q

b. (p  q) p  q

7. Leyes del Condicional.

a. p  q  p  q

b. (p  q)  p  q

8. Las Leyes del Bicondicional

a. (p  q)  (p  q)  (q  p)

b. (p  q)  (p  q)  (p  q)

9. Leyes De La Absorción

a. p  (p  q)  p

b. p  (p  q)  p  q

c. p  (p  q)  p

d. p  (p  q)  p  q

10. Leyes de Transposición

a. (p  q)  q  p

b. (p  q)  q  p

11.Leyes de Exportación

a. (p  q)  r  p  (q  r)

b. (p1p2…pn)r(p1p2…pn-1)(pnr)

12. Elementos Neutros para la Conjunción y Disyunción.

a. p  V  p, V neutro de la conjunción.

b. p  F  p, neutro de la disyunción.

13. También:

a. (p  q)  (p  q)  p

b. (p  q)  (p  q)  p

OBSERVACIÓN:

Estas leyes son muy útiles para simplificar los problemas, puesto quees válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.


























EJERCICIOS

1. Sea la tabla de verdad de la proposición p * q
p
q
p * q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V

Halle la proposición más simple equivalente a (pq) * p
a. p  q b. p  q c. p  q d. p  q
2. De las siguientes proposiciones:I. p  (p  q)
II. (p  q)  q
III. (p  q)  (p  t)
¿Cuál o cuáles son implicaciones lógicas?

a. Solo I b. Solo II c. Solo III d. I y II

3. Si definimos la operación p * q:
p
q
p * q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
V

Indique cuántos V y F se obtienen en la matriz principal de la siguiente proporción:
(p * q) * (p * p)

a. 3F Y 1V b. 2F y 2V c....