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Un sistema iterativo de funciones (SIF o IFS acrónimo del inglés Iterated function system) es una construcción matemática usada para representar de manera simple ciertos conjuntosfractales que presenten autosimilaridad. Muchos fractales clásicos autosimilares, autoafines y autoconformes pueden representarse como el único conjunto compacto invariante por unsistema iterativo de funciones contractivas.

Índice [ocultar]
1 Definición
2 Distancia de Hausdorff
3 Dimensión del atractor de un SIF
4 El problema inverso: Teorema delcollage
5 Algoritmos de representación
5.1 Algoritmo determinista
5.2 Algoritmo de iteración aleatoria
6 Referencia
6.1 Bibliografía
Definición[editar]
Un sistema iterativo defunciones (SIF) sobre \R^n (se puede generalizar a cualquier espacio métrico completo) se define a partir de un conjunto finito de contracciones \{F_1,\dots, F_n\} con n \ge 2. Elcarácter contractivo de estas funciones implica que:

|F_i(x)-F_i(y)| \le r_i |x-y|, \quad r_i < 1

Si sobre un conjunto se aplican reiteradamente los anteriores aplicacionescontractivas (iterativamente), lo que resultará en un sistema iterativo de funciones (SIF).

Estas aplicaciones inducen una aplicación sobre el conjunto de partes del espaico métrico:F:\mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X), \qquad F(A)= \bigcup_{i=1}^k F_i(A)

Una propiedad fundamental de los SIFs es que existe un "punto fijo" o que es un conjuntocompacto E tal que:

E = \bigcup_{i=1}^n F_i(E)

Observamos que esta condición nos indica que el conjunto es igual a la unión de copias de sí mismo de menor tamaño. Por esa razón,frecuentemente ese conjunto es un conjunto fractal y su dimensión de Hausdorff D puede determinarse fácilmente, ya que es la única solución del sistema:

\sum_{i=1}^n r_i^D = 1