Dsahhhhh

F.A.Q. sobre fasores
Clovis Goldemberg
(com a colaboração da Prof. Denise Consonni)
V0.8-Março/2007
1. Porque usar fasores?
A notação fasorial simplifica a resolução de problemas envolvendo funções senoidais no
tempo.
2. O que é um fasor?
Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senóide.
3. Quem inventou fasores?
O uso de números complexos para resolverproblemas em circuitos de corrente alternada foi
apresentado pela primeira vez por Charles Proteus
Steinmetz em um artigo de 1893. Ele nasceu em
Breslau, na Alemanha, filho de um ferroviário.
Tornou-se um gênio da ciência apesar de ser um
deficiente físico de nascença e ter perdido a mãe com
apenas 1 ano de idade. Assim com seu trabalho sobre
as leis da histerese atraíram a atenção dacomunidade
científica, suas atividades políticas na Universidade
de Breslau atraíram a polícia política. Foi forçado a
fugir da Alemanha sem conseguir concluir seu
trabalho de doutorado. Trabalhou em inúmeras
pesquisas nos Estados Unidos, principalmente na
General Electric Company. A GE havia sido fundada
por Thomas Edison que a dirigiu entre 1876 a 1892. Fig. 1.1 Charles Proteus Steinmetz.
Operíodo de 1892 a 1923 ficou conhecido como
sendo a Era Steinmetz, por razões óbvias. Seu “paper” sobre números complexos
revolucionou a análise de circuitos AC apesar de terem dito (naquela época) que ninguém,
exceto Steinmetz, entendia o método.
4. Como se escreve um fasor?
Esta pergunta deve ser decomposta em várias etapas...
a. Escreva y t no domínio do tempo como sendo uma funçãocossenoidal com uma fase
determinada. Por exemplo:
y t ' Y M cos ω t % φ
(1.1)
Onde:

Y M é a amplitude da onda cossenoidal (sempre $0)
φ é a fase da onda cossenoidal [rd]
ω é a frequência angular da onda cossenoidal [rd/s]

b. A fórmula de Euler estabelece que:
e j β ' cos β % j sin β
e consequentemente temos:
1 / 22

(1.2)

cos β ' Re e j β
c. Aplicando a Eq. (1.3) em (1.1) resulta:y t ' Y M cos ω t % φ ' Re Y M e j ω t % φ ' Re Y M e j ω t e j φ

(1.3)

(1.4)

ˆ
d. O fasor Y é dado por:
ˆ
Y ' Y M e j φ ' Y M pφ

(1.5)

e. Fasores não giram! Isto porque o termo e j ω t da Eq. 1.4 é considerado à parte.
ˆ
f. A representação do fasor Y adotada na Eq. (1.5) é denominada polar. Entretanto seria
perfeitamente aceitável uma representação usando números complexos:ˆ
Y ' Y M cos φ % j sin φ
(1.6)
5. Representação gráfica de um fasor
ˆ
A representação gráfica do fasor Y indicado na Eq. (1.5) está dada na Fig. 1.2

Fig. 1.2 Representação
ˆ
gráfica do fasor Y .
6. Qual a fase de um fasor?
Não existe uma única resposta a esta pergunta. Como o tempo é relativo (mais que isto, “tudo
é relativo...” e o “big-bang” ocorreu há muito tempo atrás...) énecessário arbitrar um instante
ˆ
inicial para definir a fase do fasor Y . Esta origem dos tempos deve ser a mesma para todos
os fasores de um mesmo problema. Como regra prática adota-se um dos fasores como
referência. Ou seja, este fasor específico tem fase nula. Os outros fasores podem estar
“adiantados”, “atrasados” ou “em fase” em relação à referência de fase estabelecida.
7. Um exemplo defasor?
Considere uma corrente:
i t ' 5 sin 100 t % 2 π / 3
Reescreva esta mesma corrente como sendo uma função cossenoidal.
i t ' 5 cos 100 t % π / 6

2 / 22

(1.7)

(1.8)

Reescreva como sendo a parte real de um número complexo:
i t ' Re 5 e j 100 t % π / 6 ' 5 Re e j 100 t % π / 6
Para simplificar a notação podemos deixar de escrever a funcao Re ÿ :
i t ' 5 e j 100 t % π / 6 ' 5 ej 100 t e j π / 6

(1.9)

(1.10)

Ignore o termo e j 100 t :
Iˆ ' 5 e j π / 6

(1.11)

Iˆ ' 5 pπ / 6

(1.12)

E finalmente:
Ou seja, o fasor Iˆ possui amplitude (ou magnitude, ou módulo) 5 e fase π / 6 .
8. Como transformar de uma notação fasorial para uma função temporal?
Considere um fasor:
ˆ
Y ' YM e j φ

(1.13)

Recoloque a o termo e j ω t . Nesta etapa existe uma...