Dsdad

Integrales triples:

Para el cálculo de las integrales triples partiremos de la definición de integral triple que es similar a la de integral doble, solo que ahora consideraremos una terceravariable:
Si f(x,y,z) es continua en un recinto D del espacio R3, tal que D = {(x,y,z) Î R3 |a £ x £ b, c £ y £ d, e £ z £ f, entonces la integral triple de f sobre D, se define como: .

Siempre queexista el límite. Nótese que el elemento de volumen es dV = dxdydz.
Tomando en cuenta las consideraciones de continuidad para f(x,y,z) y las consecuencias posteriores de integrabilidad similares a lashechas para la integral doble, se tiene que la integral triple sobre el paralelepípedo D de la función f(x,y,z) se puede expresar como: .

Como se puede observar se utilizan integrales iteradas.Para las mismas también se cumple el teorema de Fubini, o sea se puede cambiar el orden de integración obteniéndose el mismo resultado.
Ejemplo. Sea D = [0,1]×[0,2]×[0; 3] y f(x,y,z) = xyz. Entonces:Ejercicio a entregar por escrito: cambiar el orden de integración y comprobar que se obtiene el mismo resultado.
 
Al igual que se hizo para las integrales dobles, se extienden estos conceptos arecintos más generales, acotados por funciones que se definen en función de las variables de la manera siguiente:

Nótese que integramos entre 2 funciones de x e y que acotan los valores de z,posteriormente entre dos funciones de x que acotan los valores de y y finalmente entre los valores de a y b que acotan a la variable x. Si consideramos otro orden de integración hay que hacer lascorrespondientes consideraciones sobre las funciones que acotan los valores de cada variable.
Aplicaciones de las integrales triples.

Volumen de un sólido:
El volumen de un sólido (S) cualquiera, vienedado por:

Volumen (S) =s1 dx dy dz.
Masa, momentos respecto a los planos coordenados y centro de masa de un sólido.
Denotamos por d: R ∈R32 →R+ (continua) la densidad del sólido S.
La masa viene...