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Problema de Geometría Analítica Encontrar las ecuaciones de las alturas y el ortocentro de un
triángulo acutángulo cuyos vértices son: A (-1,-4); B (3,2) y C (-5,6).

Solución Analítica
Primero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice A (-1,-4). Se necesita calcular la
pendiente de la recta que une los puntos B (3,2) y C (-5,6).
m BC=

1
6-2
4
=
=2
-5-3 -8

Lapendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos B (3,2) y C (-5,6) es:
m 1= 2
Conocido el punto A (-1,-4) y la pendiente m 1= 2 se obtiene una ecuación de la altura.
y + 4 = 2 (x + 1)
y + 4 = 2x + 2
2x -y -2 = 0

Primera ecuación de altura

Segundo se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice B (3,2). Se necesita calcular la
pendiente de la recta que une los puntos A(-1,-4) y C (-5,6).
m AC=

5
6 + 4 10
=
=2
- 5 +1 - 4

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos A (-1,-4) y C (-5,6) es:
m 2=

2
5

Conocido el punto B (3,2) y la pendiente m 2=
2
5

y–2=

2
se obtiene una ecuación de la altura.
5

( )
x -3

5(y – 2) = 2(x -3)
5y - 10 = 2x - 6
2x - 5y + 4 = 0

Segunda ecuación de altura

Tercero se encuentra laecuación de la altura desde el vértice C (-5,6). Se necesita calcular la
pendiente de la recta que une los puntos A (-1,-4) y B (3,2).
m AB=

2+4 6 3
= =
3 +1 4 2

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos A (-1,-4) y B (3,2) es:
m 3= -

2
3

Conocido el punto C (-5,6) y la pendiente m 3= -

y –6= -

2
3

2
se obtiene una ecuación de la altura.
3

( )x +5

-3(y –6) = 2(x +5)
-3y+18 = 2x + 10
2x + 3y - 8 = 0

Tercera ecuación de altura

Se tiene un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, lo resolvemos para obtener el
ortocentro.
De la primera ecuación de altura y = 2x – 2 se despeja “y”.
Se reemplaza el valor de y = 2x – 2 en la segunda ecuación para obtener “x”:
2x – 5y + 4 = 0
2x – 5(2x – 2) + 4 = 0
2x – 10x + 10 + 4 = 0-8x + 14 = 0
-8x = -14
x=

7
4

7
calcular el valor de “y” reemplazando en tercera ecuación de altura
4
para obtener el ortocentro:

Conocido el valor de x =
2x + 3y - 8 = 0

2

()
7
4

+ 3y – 8 = 0

7
+ 3y – 8 = 0
2

3y = 8 3y =
y=

7
2

9
2

3
2

El ortocentro se encuentra en el punto

( )
7 3
,
4 2

.

Problema de Geometría Analítica Encontrarlas ecuaciones de las alturas y el ortocentro de un
triángulo obtusángulo cuyos vértices son: G (-4,3); H

( ) (- )
1
,3
2

12 9
,
5 2

y J

Solución Analítica
Primero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice G (-4,3). Se necesita calcular la
pendiente de la recta que une los puntos H

( ) (- )
1
,3
2

y J

12 9
,
5 2

.

9
3
-3
30
15
m HJ= 2
= 2==12 1
29
58
29
5 2
10

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos H

( ) (- )
1
,3
2

y J

12 9
,
5 2

es:
m 1=

29
15

Conocido el punto G (-4,3) y la pendiente m 1=
y–3=

29
se obtiene una ecuación de la altura.
15

29
(x + 4)
15

15(y – 3) = 29(x + 4)
15y – 45 = 29x + 116
29x -15y + 161 = 0

Primera ecuación de altura

Segundo seencuentra la ecuación de la altura desde el vértice H

la pendiente de la recta que une los puntos G (-4,3) y J

(-

( )
)

12 9
,
5 2

1
,3
2

.

. Se necesita calcular

3
9
-3
15
m GJ= 2
= 2 =
12
8 16
+4
5
5

La pendiente de la perpendicular a la recta que une los puntos G (-4,3) y J
m 2= -

(- )
12 9
,
5 2

es:

16
15

( )
( )
( )
1
,3
2Conocido el punto H

y–3= -

16
15

x-

y la pendiente m 2= -

16
se obtiene una ecuación de la altura.
15

1
2

-15(y – 3) = 16 x -

1
2

-15y + 45 = 16x - 8
16x + 15y - 53 = 0

Segunda ecuación de altura

(- )
( )
12 9
,
5 2

Tercero se encuentra la ecuación de la altura desde el vértice J

la pendiente de la recta que une los puntos G (-4,3) y H
m GH=

1...