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GEOMETRÍA ANALÍTICA.
PROBLEMAS AFINES
Y MÉTRICOS

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REFLEXIONA Y RESUELVE
Punto medio de un segmento
Toma los puntos P (2, 5), Q (10, 3) y represéntalos en el plano:
P (2, 5)
Q (10, 3)

■

Localiza gráficamente el punto medio, M, del segmento PQ y da sus coordenadas. ¿Encuentras alguna relación entre las coordenadas de M y las de P y Q?
M (6, 4)
Q'
P (2, 5)

Q"
MM"
P"

■

M'

Q (10, 3)

P'

Haz lo mismo con los segmentos de extremos:
a) P' (5, 1), Q' (9, 7)
b) P'' (0, 1), Q'' (10, 5)
a) M' (7, 4)
b) M'' (5, 3)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar un criterio para obtener las
coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las de sus extremos.
Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento sonla semisuma
de las coordenadas de sus extremos.
Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

1

Ecuaciones de la recta
■

Comprueba que las ecuaciones:
° x = 2 + 3t
¢
£y = 4 – t
corresponden también a una recta, hallando varios de sus puntos. (Dale a t
los valores –2, –1, 0, 1, 2, 3, y representa los puntos correspondientes; comprobarás que todos están sobre la mismarecta).
Elimina el parámetro procediendo del siguiente modo:
— Despeja t en la primera ecuación.
— Sustituye su valor en la segunda.
— Reordena los términos de la ecuación resultante.
Obtendrás, así, la ecuación de esa recta, en la forma habitual.
t

–2

–1

0

(x, y ) (– 4, 6) (–1, 5)

1

2

3

(2, 4)

(5, 3)

(8, 2)

(11, 1)

Y
(–4, 6)
(–1, 5)
(2, 4)
(5, 3)
(8,2)
(11, 1)
r
X

x–2
t=—
3
t=4–y

°
§
x–2
–x + 14
= 4 – y 8 x – 2 = 12 – 3y 8 y =
8
¢ 8
3
3
§
£
8 y=

2

–1
14
x+
3
3

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

UNIDAD

8

Distancias en el plano
s
Q (5, 7)

P (2, 3)
r

s
Q (5, 7)
P'
Q''
P(2, 3)

r

P''
Q'

■

Halla la distancia de los puntos P y Q a las rectas r y s.
d (P,r ) = 1; d (P, s ) = 8; d (Q, r ) = 5; d (Q, s ) = 5

■

Halla la distancia entre los puntos P y Q (ayúdate del teorema de Pitágoras).
d (P, Q ) = √32 + 42 = 5, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de
catetos 3 y 4.

■

Halla, también, la distancia entre:
a) P' (0, 5), Q' (12, 0)
b) P'' (3, 1), Q'' (7, 4)

Basándote en los resultados anteriores, intenta dar uncriterio para hallar la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas.
a) d (P', Q' ) = √52 + 122 = √169 = 13
b) d (P", Q" ) = √42 + 32 = √25 = 5
d (A, B ) = √ (b1 – a1)2 + (b2 – a2)2 , donde A (a1, a2) y B (b1, b2).
8

d (A, B ) = |AB |

Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos

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8

8

1. Halla las coordenadas de MN y NM, siendo M (7, –5) y N(–2, –11).
8

MN = (–2, –11) – (7, –5) = (–9, –6)
8

NM = (7, –5) – (–2, –11) = (9, 6)
2. Averigua si están alineados los puntos P (7, 11), Q (4, –3) y R (10, 25).
8

PQ = (–3, –14) °
–3
–14
=
8 A, B y C están alineados.
¢ 8
8
6
28
QR = (6, 28) £
3. Calcula el valor de k para que los puntos de coordenadas
A (1, 7)

B (–3, 4)

C (k, 5)

estén alineados.
8

AB = (–4,–3) °
–4
–3
–5
=
8 –4 = –3k – 9 8 3k = –5 8 k =
¢ 8
8
k+3
1
3
BC = (k + 3, 1) £

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4. Dados los puntos P (3, 9) y Q (8, –1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
8

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d) Obtén un punto A de PQ tal que PA /AQ = 2/3.
e) Obtén un punto B de PQ tal que PB / PQ = 1/5.
a) M

( 3 + 8 ,9 + 2( –1) ) = ( 11 , 4)
2
2

b) 3 + x
—––––– = 8 8 x = 13
2
9+y
—––––– = –1 8 y = –11
2

°
§
§
¢ 8 P' (13, –11)
§
§
£

P (3, 9)
Q (8, 1)
P' (x, y)

c) Llamamos Q' (x', y') al simétrico de Q respecto de P.
Así: x' + 8
—––––– = 3 8 x' = –2
2
y' + (–1)
—–––––––– = 9 8 y' = 19
2

4

°
§
§
¢ Q' (–2, 19)
§
§
£

Q'
P
Q

Unidad 8. Geometría analítica....