Dualidad

Dualidad.
INTRODUCCION
Todo problema de Programación Lineal tiene asociado un segundo problema, conocido como su problema Dual. Ambos están relacionados estrechamente, hasta el punto de que el modelo de uno puede obtenerse a partir del modelo del otro y la solución óptima del modelo del primero proporciona información completa acerca de la solución óptima del segundo.
Una de las ventajas dela existencia del problema dual es la posibilidad de reducir el esfuerzo computacional al resolver ciertos modelos de Programación Lineal. Pero más importante aún es la relación que existe entre la dualidad y el análisis de sensibilidad, tema del próximo capitulo, el cual estudia el efecto que las variaciones en los parámetros de un modelo tienen en la solución óptima de este. Además, los valoresóptimos de las variables del modelo dual suministran información económica muy importante acerca del valor implícito de los recursos que se utilizan en el problema que se esta resolviendo.
El matemático norteamericano John Von Neumann fue el primero en destacar la existencia de la dualidad en la programación lineal y a partir de allí el concepto se ha usado en una gran variedad de áreasteóricas y prácticas de la misma. Para comprender el concepto de dualidad analicemos los dos casos siguientes.
CONCEPTUALIZACION DE LA DUALIDAD - CASO 1
Una compañía produce dos tipos de artículo; la unidad del tipo 1 se vende a $106 y la del tipo 2 a $144.
Para el presente mes la empresa cuenta con 2000 minutos de mano de obra en el departamento de ensamble, 1800 en el departamento de revisión ycon 1000 en el departamento de empaque.
El número de minutos requeridos en cada departamento para la fabricación de una unidad de cada uno de los artículos se da en la siguiente tabla:
Tipo de producto Operación
Ensamble Revision Empaque
Tipo 1 3 2 1
Tipo 2 2 3 2
El pago por minuto es de $10 a los trabajadores del departamento de ensamble, $8 a los de revisión y de $20 a los deldepartamento de empaque.
El administrador de la empresa desea determinar cuál es el programa de producción que maximiza la utilidad total en el mes.
Construcción del modelo
Definamos a Xi como el número de artículos de tipo i que se deben producir mensualmente.
Para plantear la función del objetivo calculemos primero la utilidad unitaria de cada tipo de artículo, así:
Tipo de producto
Tipo 1Tipo 2
Precio de venta 106 144
- Costo de produccion 66 84
Costo de ensamble 3(10)=30 2(10)=20
Costo de revisión 2(8)=16 3(8)=24
Costo de empaque 1(20)=20 2(20)
66 84
Utilidad Unitaria $40 $60
de manera que el modelo de programación lineal para este problema es:
Maximizar Utilidad = 40X1 + 60X2
Sujeto a : 3X1 +2X2 < 2000 (Minuto de ensamble)
2X1 +3X2 < 1800 (Minuto derevision)

1X1 +2X2 < 1000 (Minutos de empaque)

con X1,X2 ≥ 0
Si utilizamos el winqsb para resolver el modelo obtenemos el siguiente reporte combinado
lo cual indica que el programa óptimo consiste en producir mensualmente 500 unidades del producto tipo 1 y 250 del producto tipo 2, obteniendo una ganancia de $35 000 mensuales.
Observamos que hay 50 minutos de holgura en laoperación de revisión (slack = 50), mientras que no hay sobrante en los minutos disponibles para las otras operaciones, ya que las variables de holgura de las restricciones correspondientes valen cero; por lo cual concluimos que en este programa de producción se consumen todos los minutos de ensamble y en empaque que tiene disponibles la empresa. Precisamente el agotamiento de los minutos disponiblesen esas operaciones es el que impide que las variables X1 y X2 puedan tomar un valor superior, para maximizar aún mas el valor de la función del objetivo.
Efectuando el balance entre los ingresos por ventas y los costos de producción, podemos verificar que la utilidad obtenida es efectivamente de $35 000:
Ingresos por ventas 500(106) + 250(144) = 89.000
- Costos de produccion 2000(10) +...