dualidad

II UNIDAD: DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Inv. de Operaciones I

SEMANA 07
EL PROBLEMA PRIMAL - DUAL
I .- Problema Primal y Dual en la Programación Lineal
Cada problema original de Maximización (llamado PRIMAL), tiene asociado un segundo
problema de minimización (llamado DUAL); de manera similar cada problema original de
Minimización (llamado DUAL), tiene su correspondienteproblema PRIMAL. Estos dos
problemas PRIMAL – DUAL están estrictamente relacionados de tal manera que la
solución optima de uno de ellos proporciona información completa para la solución del otro
problema asociado, esta relación completa se ve claramente en la solución por él método
simplex, más no con la solución gráfica (donde solo se ve la coincidencia en él valor de la
función objetivo en ambosproblemas.

1.- Definición del Problema Dual
La definición del problema dual esta sujeto a la presentación del problema primal.

A. El problema Dual cuando el Primal esta en presentación
Canónica
En general : MODELO PRIMAL
n

Max : Xo =

 CjXj
j 1

n

 aijXi

≤ bi

j 1

Xj ≥ 0

Donde :
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Ing. Juan Sánchez Chávez

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i = 1, 2, . . ., m variables

j = 1, 2, . . ., n variables

X j : Variables de decisión primales ( j = 1,2, . . ., n), ( n variables de decisión)
C j : Valor por unidad de actividad j.
bi : Cantidad disponible del recurso i ( i = 1, 2, . . . , m) ( m restricciones).
a ij : Cantidad de recurso que debe asignarse a cada unidad deactividad j.
Características de la forma canónica
1.

Todas las variables son no negativas.

2.

Todas las restricciones son del tipo ≤ ( ≤ o =).

3.

La función objetivo es del tipo de Maximización.

Nota : Cualquier problema de programación lineal puede llevarse a su presentación
canónica.

Proceso de Cambio para Generar el Modelo Dual a
partir del Modelo Primal en su formaCanónica
MODELO PRIMAL :
Max : Z0 = 8X1 + 6X2
s.a.
4X1 + 2X2 ≤ 60 (60 horas Máquina 1, en ensamble) Y1
2X1 + 4X2 ≤ 48 (48 horas Máquina 2, en acabado) Y2
X1, X2 ≥ 0

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Ing. Juan Sánchez Chávez

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Como la variable básica inicial S1 genera la Variable dual Y1, entonces bajo estavariable S1 en Cj – Zj se obtiene el valor de Y1 ¿cómo? Cambiando de signo ese
valor y sumándole su Cj correspondiente., así:
Y1 = 1.66667 + 0 = S/. 1.66667
Y2 = 0.66667 + 0 = S/. 0.66667
Yo = S/. 132

MODELO DUAL
Min : Y0 = 60Y1 + 48Y2
s.a.
4Y1 + 2Y2 ≥ 8
2Y1 + 4Y2

≥

6

Y1, Y2 ≥ 0
Ojo: En este caso si utilizamos esta tabla fina asumimos que X1 = Y1 y X2 = Y2

SOLUCION PRIMAL A PARTIRDE LA SOLUCION DUAL
A1 Genera la variable prima X1, por lo tanto, bajo A1 en solución optima dual se obtiene el
valor de X1 así:
X1 = -M + 12 + M = 12 unidades tipo X1
X2 = -M + 6 +M = 6 unidades tipo X2

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1. La funcion objetivo del primer problemabusca maximizar, entonces, la funcion
objetivo dual buscara minimizar. El problema de maximizacion tendra restricciones
del tipo ≤ y el de minimizacion restricciones del tipo ≥.
2. Cada restriccion primal determina una variable dual, entonces m restricciones
primales generan m variables duales (Yi : i = 1, 2, . . . , m) cuyos coeficientes para
dichas variables duales Yi son suscorrrespondientes bi primales.
Asociando 1 y 2 tenemos la funcion objetivo dual.
3. El numero de variables primales determinan el numero de restricciones duales,
entonces n variables primales i ( i = 1, 2, . . . , n), establece n restricciones duales
donde las Cj primales se constituyen en elementos del lado derecho para las
restricciones duales.
4. Tanto las variables primales como las duales son no...