DUALIDAD

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE BABAHOYO.

MÓDULO DE INVESTIGACIÓN
OPERATIVA II.

GILMA TABLADA MARTÍNEZ.
INGENIERA EN MATEMÁTICAS.
ABRIL 2015

Dualidad.

2. DUALIDAD.
La dualidad es un principio fundamental de la PL que permite resolver un problema de
minimización resolviendo uno de maximización, que está relacionado con él. También se
puede plantear en el sentido inverso: Se puede resolver un problemade maximización
resolviendo uno de minimización. Esta última variante no es muy usual porque más factible es
aplicar el método simplex directamente al problema de maximización.
Los problemas a tratar inicialmente tendrán que satisfacer las siguientes condiciones:
1. Los coeficientes de las variables estructurales de la FO deben ser no negativos.
2. Todas las restricciones son del mismo tipo, ≥ o≤.
3. Todas las variables estructurales son no negativas.
Al problema inicial se llama problema original o primal y al problema asociado se llama
problema dual. Entonces, los duales nos permiten resolver problemas de minimización usando
el método simplex para maximizar.
Si el problema primal es de minimización y tiene la estructura:
Min
Sujeto a:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Entonces,el problema dual será de maximización y tendrá la estructura:
Max W =
Sujeto a:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La matriz de los coeficientes de las variables estructurales en el modelo dual es la transpuesta
(que resulta de intercambiar filas y columnas) de la matriz de los coeficientes de las variables
estructurales del modelo primal.
Es importante notar que:
Si el primal tienevariables estructurales, entonces, el dual tendrá restricciones.
Si el primal tiene
restricciones, entonces, el dual tendrá variables estructurales.
Los coeficientes de las variables estructurales del primal serán los términos independientes de
las restricciones del dual.
Los términos independientes de las restricciones del primal serán los coeficientes de las
variables estructurales del dual.
Si elprimal es de minimizar, todas las restricciones deben ser del tipo entonces, el dual es
de maximizar y todas sus restricciones serán de tipo , y viceversa.

Ing. Gilma Tablada Martínez.

Investigación Operativa.
2

Dualidad.

TEOREMA DE DUALIDAD.
La función objetivo
del problema primal toma un valor mínimo si y sólo si la función
objetivo del dual tiene un valor máximo. Es más,
.
Si es la variablede holgura asociada con la
restricción del dual, entonces, el
indicador de la columna de de la tabla simplex final del dual es el valor de en la solución
óptima del primal.
Ejemplo 1. Dado el modelo de PL:
Min
Sujeto a:
2

+2
,

El problema dual correspondiente tendrá también dos variables estructurales y dos
restricciones. Llamemos a estas variables y . Como las restricciones del modelo primalson
del tipo , entonces las del dual son del tipo . Los coeficientes de la FO primal serán los
términos independientes de las restricciones del dual y los términos independientes del primal
serán los coeficientes de la
dual. El modelo dual es:
Max
Sujeto a:

Representando gráficamente cada modelo:

𝑥

𝑥
𝑟

𝑟

Primal

Ing. Gilma Tablada Martínez.

Investigación Operativa.
3

Dualidad.

𝑦

𝑟

𝑦

𝑟Dual
Como se aprecia en el gráfico, el Primal tiene una ZF abierta con puntos esquinas (0, 5), (4, 1) y
(9,0). De ellos la solución óptima es (4,1) para un valor mínimo de 48. El dual tiene una ZF
cerrada con puntos vértices (0, 0), (0, 4), (2, 3) y (16/5, 0). La solución óptima para el dual es (2,
3) para un valor máximo de 48.
Como se puede notar el valor de la FO para ambos modelos coincide y es48. La diferencia está
en los puntos en que cada modelo alcanza ese valor óptimo.
Aplicando el método simplex al modelo dual, la última tabla es la siguiente:
y1
0
1
0

y2
y1
W

y2
1
0
0

S1
5/8
-1/4
4

S2
-1/8
1/4
1

W
0
0
1

bi
3
2
48

Coc.

Esta tabla ofrece la solución a ambos problemas: primal y dual.
Max
Min de

para
para

y
y

Ejemplo 2. Dado el siguiente modelo de PL, encuentre su...