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Sistemas Lineales III
M.C. Manuel Gracida Aguirre

1

Conversión de una función de transferencia
a modelo espacio estado
Considere:

C (s)
24
=3
R ( s ) s + 9 s 2 + 26 s + 24
Paso 1. Encuentre la ecuación diferencia asociada.
Puesto que al multiplicarse en cruz resulta

(

)

C ( s ) s 3 + 9 s 2 + 26 s + 24 = 24 R( s )
La ecuación diferencial correspondiente se encuentra altomar la
transformada inversa de Laplace, suponiendo que las condiciones iniciales
son cero:

c
&&& + 9 c& + 26 c + 24 c = 24 r
&
&

2

Paso 2. Seleccione las variables de estado.
Al escoger las variables de estado como derivadas sucesivas, obtenemos

x1 = c
x2 = c
&
x3 = c
&&

x1 = x2
&
x2 = x3
&

x3 = &&& = 24r − 24 x1 − 26 x2 − 9 x3
&c

y = c = x1

En formamatricial

1
0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎤
⎡ x1 ⎤ ⎡ 0
&
⎢x ⎥ = ⎢ 0
0
1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ + ⎢ 0 ⎥ r
&2 ⎥ ⎢
⎢
⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ x3 ⎥ ⎢− 24 − 26 − 9⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢24⎥
⎣& ⎦ ⎣
⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ x1 ⎤
y = [1 0 0] ⎢ x2 ⎥
⎢⎥
⎢ x3 ⎥
⎣⎦

3

Diagrama a bloques equivalente que muestra las variables
de fase.
r(t)

24

+

x3 (t )
&

∫

x3 (t )

∫

x2 (t )

∫

x1 (t )

y(t)

---

9
26
24

Ejemplos:Encuentre la representación en el espacio de estados en forma de las
variables de estado de cada uno de los siguientes sistemas.
R(s)

100
s 4 + 20 s 3 + 10s 2 + 7 s + 100

C(s)

R(s)

30
s 5 + 8s 4 + 9 s 3 + 6 s 2 + s + 30

C(s)

Compruebe los
Compruebe los
resultados utilizando
resultados utilizando
MATLAB
MATLAB
4

Conversión de una función de transferencia a modeloespacio estado
Conversión de una función de transferencia a modelo espacio estado
Considere:

C (s)
s 2 + 7s + 2
=3
R( s ) s + 9s 2 + 26 s + 24
Paso 1. Separe el sistema en dos bloques en cascada, el primero contiene el
denominador y el segundo el numerador.

R(s)

1
s 3 + 9s 2 + 26 s + 24

X1(s)

s + 7s + 2
2

C(s)

Paso 2. Encuentre las ecuaciones del estado para el bloque quecontiene el
denominador.
Paso 3. Introduzca el efecto del bloque con el numerador. El segundo bloque
de la figura donde b2=1, b1=7 y b0=2
5

Conversión de una función de transferencia a modelo espacio estado
Conversión de una función de transferencia a modelo espacio estado
(Cont.)
(Cont.)

Al obtener la transformada inversa de Laplace de:

(

)

(

)

C ( s ) = b2 s 2 + b1s +b0 X 1 ( s ) = s 2 + 7 s + 2 X 1 ( s )
La transformada inversa de Laplace es:

c = &&1 + 7 x1 + 2 x1
x
&
Pero :
x1 = x1
x1 = x2
&
x
&&1 = x1

y = c(t ) = b2 x3 + b1 x2 + b0 x1 = x3 + 7 x2 + 2 x1
y = [b0

b1

⎡ x1 ⎤
⎡ x1 ⎤
b2 ] ⎢ x2 ⎥ = [2 7 1] ⎢ x2 ⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢ x3 ⎥
⎢ x3 ⎥
⎣⎦
⎣⎦
6

Diseño por medio del estado espacio
Diseño por medio del estado espacio
Metas del tema:Como diseñar un controlador mediante realimentación del estado usando
la ubicación de polos para satisfacer las especificaciones de la respuesta
transitoria.
Como diseñar un observador para sistemas donde no se dispone del
estado del controlador.

7

Diseño de un controlador
Diseño
Ecuación característica de un
sistema de control retroalimentado
en lazo cerrado del n-ésimo

s n +an −1s n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a1s + a0

Topología para la ubicación de polos
Considere una planta representada en el espacio de estado

x = Ax + Bu
&
y = Cx

u

B

+

x
&

∫

x

C

y

+

A
Representación en espacio estado de la planta
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Diseño de un controlador (cont.)
Diseño
• En un sistema típico de control de realimentación, la salida y, se realimenta al
punto desuma.
• En lugar de realimentar y, ¿qué pasa si realimentamos todas las variables de
estado?
r+

u
+

B

+

x
&

∫

x

C

y

+

A

-K
Planta con realimentación del estado
9

Diseño de un controlador (cont.)
Diseño
Si cada variable de estado se realimenta al control, u, por medio de una
ganancia , ki, habría n ganancias, ki ,que se podrían ajustar para obtener...