dylan

Carlos Ivorra Castillo

´
ALGEBRA

Mathematics, rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture.
Bertrand Russell

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Indice General
Introducci´n
o

ix

Preliminares conjuntistas

xv

Cap´
ıtulo I: Los n´ meros enteros y racionales
u
1.1 Construcci´n de los n´meros enteros . . . .
o
u
1.2 Anillos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Cuerpos de cocientes. N´meros racionales .
u
1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . .

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1
3
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13

Cap´
ıtulo II: Anillos de polinomios
15
2.1 Construcci´n de los anillosde polinomios . . . . . . . . . . . . . 15
o
2.2 Evaluaci´n de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
o
2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Cap´
ıtulo III: Ideales
25
3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Cap´
ıtulo IV: Divisibilidad en dominios ´
ıntegros
4.1 Conceptos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . .
a
4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . .
4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . .
Cap´
ıtulo V: Congruencias y anillos cociente
5.1Definiciones b´sicas . . . . . . . . . . . . .
a
5.2 N´meros perfectos . . . . . . . . . . . . .
u
5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . .
5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . .
v

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45
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60

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INDICE GENERAL

vi
Cap´
ıtulo VI: Algunas aplicaciones
6.1 Ternas pitag´ricas . . . . . . .
o
6.2 Sumas de doscuadrados . . . .
6.3 Sumas de cuatro cuadrados . .
6.4 N´meros de la forma x2 + 3y 2 .
u
6.5 La ecuaci´n x2 + 3y 2 = z 3 . . .
o
´
6.6 El Ultimo Teorema de Fermat .
6.7 Enteros ciclot´micos . . . . . .
o
Cap´
ıtulo VII: M´dulos
o
7.1 M´dulos . . . . .
o
7.2 Suma de m´dulos
o
7.3 M´dulos libres. .
o

y espacios
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65
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72
74
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vectoriales
87
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Cap´
ıtulo VIII: Extensiones de cuerpos
8.1 Extensiones algebraicas . . . . . .
8.2 Homomorfismos entre extensiones .
8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . .
8.4 Extensiones normales . . . . . . . .8.5 Extensiones separables . . . . . . .
8.6 El teorema del elemento primitivo
8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . .
Cap´
ıtulo IX: Grupos
9.1 Definici´n y propiedades b´sicas .
o
a
9.2 Grupos de permutaciones . . . . .
9.3 Generadores, grupos c´
ıclicos . . . .
9.4 Conjugaci´n y subgrupos normales
o
9.5 Producto de grupos . . . . . . . . .
9.6 Grupos cociente . . . . . . . ....