Dynamique Des Structures

Dynamique des structures P-1.R/ (a) Si = et = ( + ) = + = + = ( + ) alors
Schéma rendu libre

Selon le schéma rendu libre et la somme des forces: ( )− = ü ü+ = ( ) ü+( + ) = ( ) (b) Si = et la force en chaque ressort est = + alors : = = = = = =

=

et

=

et si

1

1

+ + +

1

Schéma rendu libre

Selon le schéma rendu libre et la somme des forces: ( )− ü+ ü+ = ü = ( )(c) Si =

En accord aux problèmes (a) et (b) on peut dire que: 1 1 1 = +

= +

+

= ( ) et la force en chaque ressort est

=

et

=

; où

1 1

= = =

Selon le schéma rendu libre et la somme des forces: ( )− ü+ ü+ = ü = ( )

( + ) + +

+ + ( + )

1 +

+

1

Schéma rendu libre

( + ) + + + 1

= ( ) = = =
Déplacement

P-2. R/ Si = = = = + +

=

et

; =;

1

1 48

mais comme + = 48 + 48

La fréquence naturelle c’est :

48 48 +

=

=

(

)

P-3. R/ Si

colonnes est : 2 ×

= 1 la rigidité de chaque poteau est: = ( )−

= = ü

et

la

rigidité

des

deux
3 ℎ

Selon le schéma rendu libre et la somme des forces: 6 ü+ ℎ

Si on fait la relation entre la rigidité d’un poteau encastré-encastré etencastréarticulé on voit que la première est 4 fois plus rigide que la deuxième. =4

= ( )

Schéma rendu libre

P-4.R/ L’équation de mouvement (général) pour ce système est: mü + cu̇ + ku = 0

Étant donné que la vitesse v est une constante, et que ug(x) doit être en termes de (t), on peut utiliser : = ∗ Et en sachant que le déplacement totale est la somme du domaine de ug(x) plus et le domaine de [ut(t)– ug(x)] ou [ut(t) – ug(vt)] on déduit : P = k u (t) − u (vt) P = mü P = c u̇ (t) − u̇ (vt)

k u (t) − u (vt) + c u̇ (t) − u̇ (vt) + mü = 0 ku (t) − ku (vt) + cu̇ (t) − cu̇ (vt) + mü = 0 Et en séparant les termes, selon su fonction, on a l’équation de mouvement du système:

ku (t) + cu̇ (t) + mü = ku (vt) + cu̇ (vt) P-5. R/ Le problème l’on peut résoudre en sachant que la masse est toujours uneconstante à l’égal que la rigidité, alors, on va à déduire la valeur de la masse en trouvant premièrement l’expression de la rigidité pour chaque condition; après ça, il faut donc, faire une confrontation de cette expressions.

= 0.5 = =

Confrontation des équations sur laquelle on déduit la masse et par conséquente la rigidité.
12.57 = = = 8.38 + 0.13 + 0.13 ∗ 8.38 − − ∗ 386 = 40.14

== 12.57

=

;

= 0.75 = =

=

= 8.38
.

=

;

=

= 0.13 lb-sec /in

2

+ 0.13

=

87.78 ∗

9.13

= 12.57

= 0.104

= 0.104

∗ 0.104

−

= 16.43

P-6.R/ Dans une collision de deux corps, le mouvement est transféré à partir du premier au deuxième, cette conservation du momentum est définie comme le produit de sa masse et de la vitesse (m*v), alors:
m = 10lb/g mb = 0.5 lb/g vb = 60 ft/sec = 720 in/sec 2 g = gravité = 386 in/sec k = 100 lb/in

m ∗ v = (m + m )u̇

m ∗v 0.5lb/g in = 720 = 34.29in/sec (m + m ) 10.5lb/g sec Pour trouver le mouvement résultant on utilise cette équation: u(t) = ω= u̇ = u(t) = u̇ sinω(t) ω

u̇ sinω(t) + u cosω(t); où le déplacement initial u = 0 ω m =m+m = lb−sec 0.0272 in lb 100 in 10.5lb lb − sec = 0.0272 in in386 sec = 60.63sec

k ; m

ω=

u(t) = 0.566sin[60.63(t)] in P-7.R/ On commence par trouver le déplacement initial. lb − sec fs m ∗ g 10 in u = = = = 0.2in lb k k 50 in u̇ = − 2gh = − 2 ∗ 386 ∗ (3 ∗ 12)in = −166.71

u(t) =

rad 60.63 sec

in 34.29 sec

sin60.63

Avant l’impact le corps se trouve sur « chute libre », donc la vitesse u̇ du système, c’est la même vitesse finale du corpsjuste avant l’impact.

Équation du déplacement:

u(t) = u cosω(t) +

u̇ sinω(t) ω

u(t) = 0.2in ∗ cos43.93(t) −

ω=

k = m

Pour trouver l’accélération maximale, il faut d’abord trouver le déplacement maximal. u ü =
̇

u(t) = 0.2cos43.93(t) − 3.78sin43.93(t)
. .

10lb in 386 sec

lb 50 in

166.71 sin43.93(t) 43.93

= 43.93

rad sec

=ω ∗u

+u

= 43.93

=...