E0100

ECUACIONES DIFERENCIALES
´ DE PARAMETROS
´
VARIACION
E0100
Utilizando el m´etodo de variaci´on de parametros, calcular una soluci´on particular y escribir la
soluci´on general de la edo.
(1)
1
x
2
3
Dado que y1 = x y y2 = x forman un conjunto fundamental de soluciones para la edo.
(homog´enea asociada):
x2 y − 4xy + 6y = 0
x2 y − 4xy + 6y =

(2)
x2 y − xy + y = 4x ln x
Dado que y1 = x y y2 = x lnx forman un conjunto fundamental de soluciones para la edo.
(homog´enea asociada):
x2 y − xy + y = 0
(3)
y + y = sec2 x
(4)
e3x
y − 3y + 2y =
1 + ex
(5)
xy − (x + 1)y + y = x2 e2x
Dado que y1 = x + 1 es soluci´on de la edo. (homog´enea asociada):
xy − (x + 1)y + y = 0
(6)
x2 y + xy + y = sec(ln x)
Dado que y1 = sec(ln x) es soluci´on de la edo. (homogenea asociada):
x2 y + xy + y = 0canek.uam.mx: 21/ 4/ 2003.
1

´ DE PARAMETROS
´
VARIACION
E0100

2

Respuestas
Utilizando el m´etodo de variaci´on de parametros, calcular una soluci´on particular y escribir la
soluci´on general de la edo.
(1) Resolver:
1
x
2
3
Dado que y1 = x y y2 = x forman un conjunto fundamental de soluciones para la edo.
(homog´enea asociada):
x2 y − 4xy + 6y = 0
x2 y − 4xy + 6y =

Sea yp (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2(x) una soluci´on particular.
Entonces:
yp (x) = u1 x2 + u2 x3 ⇒ yp = u1 x2 + 2u1 x + u2 x3 + 3u2 x2
Considerando que:
u 1 x2 + u 2 x3 = 0

(A)
Entonces:

yp = 2u1 x + 3u2 x2 ⇒ yp = 2u1 x + 2u1 + 3u2 x2 + 6u2 x
Sustituyendo en
x2 yp − 4xyp + 6yp =

1
x

Se obtiene:
x2 (2u1 x + 2u1 + 3u2 x2 + 6u2 x) − 4x(2u1 x + 3u2 x2 ) + 6(u1 x2 + u2 x3 ) =
2x3 u1 + u1 (2x2 − 8x2 + 6x2 ) + 3x4 u2 + u2 (6x3 −12x3 + 6x3 ) =

1
x

1
, dividiendo por x2
x
1
2xu1 + 3x2 u2 = 3
x
Entonces u1 y u2 deben satisfacer el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B)
2x3 u1 + 3x4 u2 =

(B)

1
x

x2 u 1 + x3 u 2 = 0
2xu1 + 3x2 u2 = x−3

⇒

u1 + xu2 = 0
2u1 + 3xu2 = x−4

El determinante del sistema es
∆s =
La soluci´on del sistema es

1 x
= 3x − 2x = x ⇒ ∆s = x
2 3x

´ DE PARAMETROS
´
VARIACION
E0100

3

0
x
−4
3x
x−x−3
= −x−4 ⇒ u1 = −x−4
u1 =
=
∆s
x
1 0
2 x−4
x−4
= −x−5 ⇒ u2 = −x−5
u2 =
=
∆s
x
De aqu´ı que
u1 = −
u2 =

x−4 dx = −
x−5 dx =

x−3
1
+ c1 = x−3 + c1
−3
3

x−4
1
+ c2 = − x−4 + c2
−4
4

1
1
Tomando u1 = x−3 y u2 = − x−4 se tiene que, una soluci´on particular es
3
4
1
1
1
1
yp = u1 x2 + u2 x3 = x−3 x2 − x−4 x3 = x−1 − x−1
3
4
3
4
1 −1
1
x =
12
12x
Entonces la soluci´on general, de la edo. dada, es
yp(x) =

y = yp (x) + k1 y1 (x) + k2 y2 (x)
1
y = x−1 + k1 x2 + k2 x3
12
(2) Resolver:
x2 y − xy + y = 4x ln x
Dado que y1 = x y y2 = x ln x forman un conjunto fundamental de soluciones para la edo.
(homog´enea asociada):
x2 y − xy + y = 0
Sea yp (x) = u1 (x)y1 (x) + u2 (x)y2 (x) una solui´on particular
Entonces:
yp = u1 x + u2 x ln x ⇒ yp = u1 x + u1 + u2 x ln x + u2 (1 + ln x)
Considerando que
u1x + u2 x ln x = 0

(C)
Entonces

yp = u1 + u2 (1 + ln x) ⇒ yp = u1 + u2 (1 + ln x) + u2
Sustituyendo en

1
x

´ DE PARAMETROS
´
VARIACION
E0100

4

x2 yp − xyp + yp = 4x ln x
Se obtiene
1
− x[u1 + u2 (1 + ln x)] + u1 x + u2 x ln x = 4x ln x
x
x2 u1 + u2 (x2 + x2 ln x) + u2 (x − x − x ln x + x ln x) + u1 (−x + x) = 4x ln x

x2 u1 + u2 (1 + ln x) + u2

x2 u1 + x2 (1 + ln x)u2 = 4x ln x
Dividiendopor x2
(D)

4
ln x
x
Entonces u1 y u2 deben satisfacer el sistema conformado por las ecuaciones (C) y (D).
u + (1 + ln x)u2 =

xu1 + (x ln x)u2 = 0
u1 + (1 + ln x)u2 = 4x−1 ln x

⇒

u1 + (ln x)u2 = 0
u1 + (1 + ln x)u2 = 4x−1 ln x

El determinante del sistema es
1
ln x
= 1 + ln x − ln x = 1 ⇒ ∆s = 1
1 1 + ln x
La soluci´on del sistema es
∆s =

0
u1 =

4x

−1

ln x
ln x 1 + ln x
= −4x−1 (ln x)2
∆s1
0
−1
1 4x ln x
u2 =
= 4x−1 ln x
∆s
De aqu´ı que
u1 = −4
u2 = 4

x−1 (ln x)2 dx = −4
x−1 ln x dx = 4

(ln x)2
(ln x)

4
dx
= − (ln x)3 + c1
x
3

dx
= 2(ln x)2 + c2
x

4
Tomando u1 = − (ln x)3 y u2 = 2(ln x)2 se tiene que, una soluci´on particular es
3
4
yp = u1 x + u2 x ln x = − (ln x)3 x + 2(ln x)2 x ln x
3
2
yp (x) = x(ln x)3
3
Entonces la soluci´on general es
y = yp (x) + k1 y1 (x) + k2 y2...