E1

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica
MA 0001 Prec´
alculo

EJERCICIOS 1
1. Factorice completamente el criterio de las siguiente funciones con dominio R.
a) f (x) = x4 + 2x3 − x − 2
b) P(x) = −14x2 + 23x − 3
c) g(x) = 4x3 − 3x + 1
d) h(x) = 6x8 + 17x4 + 12
e) j(t) = (t3 − 125) − (t − 5)3 − 5t3 (t − 5)
f) m(x) = 9x4 − 63x3 + 10x5 + 4x2 + 12x
√
g) Q(x) = x2 (x − 5) + 4(x2 − 5)
h) M (t)= (t + 1)3 + (t − 3)3
Factorizaci´on con sustituci´on
2
4
Consideremos el siguiente criterio de una funci´on k(x) = x 3 − 13x 3 + 36.
Debemos notar que no es una func´on polinomial pero si se realizauna sustituci´
on el
criterio puede tomar la apariencia polinomial.
4
2
Se tiene que x 3 = x2· 3 y usando la propiedad de potencias y mn = (y m )n = (y n )m entonces
4

2

se tiene a conveniencia x 3= x 3

2

.

Si reescribimos el criterio obtenemos k(x) =

2

x3

2

2

− 13x 3 + 36 y se evidencia que la

2

2

expresi´on x 3 est´a repetida en dos t´erminos, por ello la sustituci´on que haremoses t = x 3 .
Con lo anterior obtenemos una nueva funci´on con criterio q(t) = t2 − 13t + 36. ¿Cu´al es
la factorizaci´on de este criterio?
Por lo tanto el criterio de k se puede expresar por k(x) = ()(
)
Ejercicio. Factorice el criterio de la funci´on definida por s(x) = 3(x + 4)2 + (x + 4) − 2
haciendo una sustituci´on. ¿Se puede resolver de otra forma?
2. Utilice la t´ecnica de completarcuadrados en los criterios de las siguientes funciones
cuadr´aticas.
a) f (x) = x2 − 6x + 12
b) h(x) = 8x − x2 + 3
c) g(x) = −2x2 − 7x − 4

d) j(x) = 6 − 2x + 4x2
x
e) m(x) = − 2x2
2
f) n(x) = x2 + x
1

3.Determine el criterio de una funci´on polinomial f que satisfaga las condiciones dadas.
Utilice el teorema del factor.
a) Grado 4; coeficiente de x4 es 1; ceros −2, ±1, 4
b) Grado 3; ceros −4, 3, 0;f (−2) = −36
4. Si el criterio de la funci´on T est´a dado por T (x) = x3 − 8x + m y tiene como factor al
polinomio x + 3, deetermine el valor de m.
5. Considere la funci´on P definida por P (y) = y...