EA y RG resumen

Estudio Analítico y Representación Gráfica de Funciones
El tema que nos ocupa es conseguir la representación gráfica de una función conocida
por su expresión algebráica (de la forma y=f(x)). en el sistema cartesiano de
coordenadas.
En apartados anteriores del curso se ha realizado esto para el caso de funciones
polinómicas de primer grado (ver función lineal). En cursos anteriores también se hatrabajado en la representación gráfica de funciones pero utilizando medios más
rudimentarios.
EJEMPLO 1:
Para graficar f(x)=3x+2 sería suficiente con realizar un cuadro de valores en el que se
eligen dos preimagenes y, utilizando la expresión algebráica, se calculan las
correspondientes imagenes obteniendo las coordenadas de dos puntos del gráfico.
(nota: basta elegir dos preimagenes dado queconocemos de antemano que su gráfico
será una recta y por lo tanto son suficientes dos puntos)
Otra forma (vista en el material de función lineal) es aprovechar la información referida
a “pendiente de una recta” y “coeficiente angular”.

EJEMPLO 2:
Para graficar f(x)=x2-7x+12 no será suficiente determinar dos puntos del gráfico. De
cursos anteriores ya sabemos que el gráfico de una función cuadráticaes una curva
(llamada parábola) simétrica respecto a un eje parallelo a Oy.
En este caso ya no es suficiente obtener dos puntos del gráfico. Si se hace una tabla
considerando algunas preimagenes más, es posible obtener un conjunto de puntos
pertenecientes al gráfico que puede darnos idea de como será el gráfico.

x
0
1
2
3
4
5
6

f(x)
12
6
2
0
0
2
6

Unir dichos puntos con una linea es presuponerla continuidad de la función pero eso es
algo que ya podemos hacer puesto que (en el material de continuidad) hemos
determinado que las funciones polinómicas son continuas para todos los reales.
De todas formas podemos extraer muchos otros datos a partir de la expresión algebraica
que pueden ayudarnos a determinar el gráfico. (Estudio de ceros y signos, buscar eje de
simetría, punto extremo,ordenada en el origen, etc. )
Ceros y signos:
Los ceros de la función son las raíces de la expresión algebraica. (son las preimagenes
de cero)
Los obtenemos resolviendo
la ecuación f(x)=0.
Hemos determinado dos puntos del gráfico (3,0)
(4,0)

x  7 x  12  0
2

x

7

7  4.1.12
2

Luego se procede al estudio del signo como ya sabemos
para el estudio de inecuaciones

2.1
x

7

49  48

+++ ++0--- -- 0 +++ ++
4
3
Inmediatamente se traslada esta información al gráfico
eliminando las zonas que sabemos el gráfico de la
función no va a utilizar.

2
x

y

Signo de (x²-7x+12)

7 1
2

x=3 y x=4

7
2

3

4

3

4

Eje de simetría:
Los puntos determinados por las raíces deben ser simétricos respecto al eje de simetría.
Entonces dicho eje pasará por el punto medio entre ellos.
Para calcular lascoordenadas del punto medio promediamos las abscisas
3 4
2



7
2

 3.5

entonces el eje está consituido por todos los puntos de abscisa 3.5

Punto Extremo
Se le llama extremo al punto de ordenada Máxima o Mínima. En el caso considerado la
función no tiene un único punto de ordenada máxima pero sí uno de ordenada mínima.
Como es el único, su simétrico debe ser él mismo por lo que debe estar en eleje de
simetría.
Entonces conocemos su abscisa (3.5) y podemos calcular su ordenada f(3.5)= -1/4
El Punto Extremo queda así determinado (3.5 , -1/4 )

Ordenada en el origen
La ordenada en el origen es el valor funcional para x=0 (lease imagen de 0).
Como estamos trabajando con una función polinómica, este valor es inmediato ya que
co coincide con el término independiente
f(0)= 0²-7.0+12 = 12

conlo que se obtiene rápidamente un nuevo punto (0,12).

Tenemos información más que suficiente para obtener una buena aproximación al
gráfico.

EJEMPLO 3:
Cuando la expresión algebraica no es polinómica debemos analizar con más cuidado
algunos aspectos. Veremos ahora un ejemplo de función también conocido, aquellas que
tienen por expresión algebraica cociente de polinomios de primer grado. Es...